連立方程式の解き方・割合【昨年と今年】

連立方程式の解き方・割合【昨年と今年】

「割合の連立方程式の解き方は？」
「昨年と今年の男女の人数の求め方は？」

割合の連立方程式の解き方は次のとおり。

連立方程式の解き方・割合【昨年と今年】

\(1\)、求めるものを\(x\)、\(y\)とする

\(2\)、人数の関係を整理する

\(3\)、割合を使って、昨年と今年の人数を求める

\(4\)、問題から等しい関係を読み取って、方程式を\(2\)つ作る

\(5\)、連立方程式を解く

\(1\)ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については

・連立方程式の解き方・\(3\)ステップ

へどうぞ。

連立方程式の問題・割合

連立方程式の割合の問題です。

問題
ある学校の女子の数は男子と比べて、昨年は\(2\)割多く、今年は\(11\)人少ない。また、男子の数は昨年と比べて今年は\(1\)割多く、男女の合計は昨年と比べて今年は\(5\)\(\mathrm{\%}\)少ない。昨年の男子と今年の女子の数を求めましょう。

連立方程式の解き方・割合昨年と今年\(1\)

割合の連立方程式の解くときは、\(1\)番目に求めるものを\(x\)、\(y\)とします。ここでは昨年の男子を\(x\)人、今年の女子を\(y\)人とします。

解き方【ステップ\(1\)】

\(1\)、求めるものを\(x\)、\(y\)とする

・昨年の男子を\(x\)人とする

・今年の女子を\(y\)人とする

連立方程式の解き方・割合昨年と今年\(2\)

\(2\)番目に、人数の関係を整理します。

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、人数の関係を整理する

・昨年の女子の数は、昨年の男子より\(2\)割多い

・今年の女子の数は、今年の男子より\(11\)人少ない

・今年の男子の数は、昨年の男子より\(1\)割多い

・今年の男女の合計は、昨年の男女の合計より\(5\)\(\mathrm{\%}\)少ない

連立方程式の解き方・割合昨年と今年\(3\)\(-1\)

\(3\)番目に割合を使って、昨年と今年の人数を求めます。

まずは

・昨年の女子の数は、昨年の男子より\(2\)割多い

から、昨年の女子の数の式を作ります。

割合を使った、昨年の男子の\(2\)割を求める方法は次のとおり。

割合を使った求め方
昨年の男子の\(2\)割\(\hskip2pt=\hskip2pt\)昨年の男子の数\(\hskip2pt\times\frac{2}{10}\)

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、割合を使って、昨年と今年の人数を求める

・ \(\phantom{={}}\)昨年の女子の数
\(=\hskip2pt\)昨年の男子\(\hskip2pt+\hskip2pt\)昨年の男子の\(2\)割

・昨年の男子は\(x\)人

・昨年の女子の数\(\hskip2pt=x+x\times\frac{2}{10}=\frac{6}{5}x\)

連立方程式の解き方・割合昨年と今年\(3\)\(-2\)

次に

・今年の女子の数は、今年の男子より\(11\)人少ない

から、今年の男子の数の式を作ります。

解き方【ステップ\(3\)】

・今年の女子の数は、今年の男子より\(11\)人少ない

・今年の男子の数は、今年の女子より\(11\)人多い

・今年の女子は\(y\)人

・今年の男子の数\(\hskip2pt=y+11\)

連立方程式の解き方・割合昨年と今年\(3\)\(-3\)

次に

・今年の男子の数は、昨年の男子より\(1\)割多い

から、今年の男子の数の式を作ります。

割合を使った、昨年の男子の\(1\)割を求める方法は次のとおり。

割合を使った求め方
昨年の男子の\(1\)割\(\hskip2pt=\hskip2pt\)昨年の男子の数\(\hskip2pt\times\frac{1}{10}\)

解き方【ステップ\(3\)】

・ \(\phantom{={}}\)今年の男子の数
\(=\hskip2pt\)昨年の男子\(\hskip2pt+\hskip2pt\)昨年の男子の\(1\)割

・昨年の男子は\(x\)人

・今年の男子の数\(\hskip2pt=x+x\times\frac{1}{10}=\frac{11}{10}x\)

連立方程式の解き方・割合昨年と今年\(3\)\(-4\)

次に

・今年の男女の合計は、昨年の男女の合計より\(5\)\(\mathrm{\%}\)少ない

から、今年の男女の合計の式を作ります。

割合を使った、昨年の男女の合計の\(5\)\(\mathrm{\%}\)を求める方法は次のとおり。

割合を使った求め方
\(\phantom{={}}\)昨年の男女の合計の\(5\)\(\mathrm{\%}\)
\(\hskip2pt=\hskip2pt\)昨年の男女の合計\(\hskip2pt\times\frac{5}{100}\)

解き方【ステップ\(3\)】

・ \(\phantom{={}}\)今年の男女の合計
\(=\hskip2pt\)昨年の男女の合計\(\hskip2pt-\hskip2pt\)昨年の男女の合計の\(5\)\(\mathrm{\%}\)

・昨年の男女の合計は\(x+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}x\)

・ \(\phantom{={}}\)今年の男女の合計
\(=\frac{11}{5}x-\frac{11}{5}x\times\frac{5}{100}\)
\(=\frac{209}{100}x\)

連立方程式の解き方・割合昨年と今年\(4\)

\(4\)番目に、問題から等しい関係を読み取って、方程式を\(2\)つ作ります。

解き方【ステップ\(4\)】

\(2\)、問題から等しい関係を読み取って、方程式を\(2\)つ作る

・今年の男子の数は
\(\frac{11}{10}x\)と\(y+11\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)

・ \(\frac{11}{10}x=y+11\)

・今年の男女の合計は
\(\frac{209}{100}x\)と\((y+11)+y\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)

・ \(\frac{209}{100}x=2y+11\)

連立方程式の解き方・割合昨年と今年\(5\)

\(5\)番目に、連立方程式を解きます。ステップ\(4\)で作った\(2\)つの方程式を、連立方程式として解きます。

解き方【ステップ\(5\)】

\(2\)、連立方程式を解く

・ \(\left\{\begin{array}{l}\frac{11}{10}x=y+11\cdots①\\\frac{209}{100}x=2y+11\cdots②\end{array}\right.\)

・ \(①\)より\(y=\frac{11}{10}x-11\)を\(②\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{\frac{209}{100}x}}&=\textstyle{2\times(\frac{11}{10}x-11)+11}\cr&&\mathord{\textstyle{\frac{209}{100}x}}&=\textstyle{\frac{11}{5}x-11}\cr&&\mathord{209x}&=220x-1100\cr&&\mathord{-11x}&=-1100\cr&&\mathord{x}&=100\cr\end{alignat}\)

・ \(x=100\)を\(y=\frac{11}{10}x-11\)に代入する

・ \(y=\frac{11}{10}\times100-11=99\)

答え
昨年の男子は\(100\)人
今年の女子は\(99\)人

連立方程式の解き方・割合まとめ

ポイントをカンタンにまとめます。割合の連立方程式の解き方です。

連立方程式の解き方・割合【昨年と今年】

・求めるものを\(x\)、\(y\)とする

・人数の関係を整理する

・割合を使って人数を求める

・方程式を\(2\)つ作る

・連立方程式を解く