連立方程式の解き方・割合【人数】

連立方程式の解き方・割合【人数】 $4$ ステップ

「人数を求める割合の連立方程式って、どうやって解くの？」
　
人数を求める割合の連立方程式の解き方は次のとおり。

連立方程式の解き方・割合【人数】 $4$ ステップ

1

、求めるものを

x

、

y

とする

2

、割合を使って人数を求める

3

、人数から方程式を

2

つ作る

4

、連立方程式を解く

1

ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については

・連立方程式の解き方・

3

ステップ

へどうぞ。

連立方程式の問題・割合【人数】

人数を求める割合の連立方程式の問題です。

問題
ある中学校では $67$ $%$ の人が自転車で通学しています。

男女を別にして自転車で通学している人の割合を調べたところ、男子は $6$ 割、女子は $8$ 割でした。

また、その人数を調べたところ、男子は女子より $33$ 人多いことが分かりました。

この中学校の男子と女子の人数をそれぞれ求めましょう。

連立方程式の解き方・割合【人数】

人数を求める割合の連立方程式を解くときは $1$ 番目に、求めるものを $x$ 、 $y$ とします。

ここでは男子と女子の人数をそれぞれ $x$ 、 $y$ 人とします。

解き方【ステップ $1$ 】

1

、求めるものを

x

、

y

とする

・男子の人数を

x

人とする

・女子の人数を

y

人とする

連立方程式の解き方・割合【人数】 $2$ $- 1$

$2$ 番目に、割合を使って人数を求めます。

歩合の割合を使って、人数を求める方法は次のとおり。

歩合の割合を使って、人数を求める方法

・

求 め る 人 数 = 全 体 の 人 数 \times \frac{割 合 (割)}{10}

例えば、

100

人の

4

割が男子のとき、男子の人数の求め方は次のとおり。

・男子の人数

= 100 \times \frac{4}{10} = 40

・男子の人数は

40

人

百分率の割合を使って、人数を求める方法は次のとおり。

百分率の割合を使って、人数を求める方法

・

求 め る 人 数 = 全 体 の 人 数 \times \frac{割 合 (%)}{100}

例えば、

100

人の

65

%

が男子のとき、男子の人数の求め方は次のとおり。

・男子の人数

= 100 \times \frac{65}{100} = 65

・男子の人数は

65

人

連立方程式の解き方・割合【人数】 $2$ $- 2$

解き方【ステップ $2$ 】

2

、割合を使って人数を求める

・中学校の

67

%

の人数を求める

・中学校全体の人数は

x + y

・割合は

67

%

・

(x + y) \times \frac{67}{100} = \frac{67}{100} (x + y)

・中学校の

67

%

の人数は

\frac{67}{100} (x + y)

・男子の

6

割の人数を求める

・男子全体の人数は

x

・割合は

6

割

・

x \times \frac{6}{10} = \frac{3}{5} x

・男子の

6

割の人数は

\frac{3}{5} x

・女子の

8

割の人数を求める

・女子全体の人数は

y

・割合は

8

割

・

y \times \frac{8}{10} = \frac{4}{5} y

・女子の

8

割の人数は

\frac{4}{5} y

連立方程式の解き方・割合【人数】 $3$ $- 1$

$3$ 番目に、人数から方程式を $2$ つ作ります。

$1$ つ目の方程式は「中学校の $67$ $%$ の人数は、男子 $6$ 割と女子 $8$ 割を足した人数と同じ」という方程式を作ります。

解き方【ステップ $3$ 】

3

、人数から方程式を

2

つ作る

・中学校の

67

%

の人数は、男子

6

割と女子

8

割を足した人数と同じ

・

\frac{67}{100} (x + y) = \frac{3}{5} x + \frac{4}{5} y

連立方程式の解き方・割合【人数】 $3$ $- 2$

$2$ つ目の方程式は「自転車で通学している男子は、自転車で通学している女子より $33$ 人多い」という方程式を作ります。

解き方【ステップ $3$ 】

3

、人数から方程式を

2

つ作る

・自転車で通学している男子は、自転車で通学している女子より

33

人多い

・男子の

6

割の人数

=

女子の

8

割の人数

+

33

・

\frac{3}{5} x = \frac{4}{5} y + 33

連立方程式の解き方・割合【人数】 $4$

$4$ 番目に、連立方程式を解きます。

解き方【ステップ $4$ 】

4

、連立方程式を解く

・

{\begin{cases} \frac{67}{100} (x + y) = \frac{3}{5} x + \frac{4}{5} y \dots ① \\ \frac{3}{5} x = \frac{4}{5} y + 33 \dots ② \end{cases}

・

①

を整理する

\begin{aligned} ・ & 67 (x + y) & = 60 x + 80 y \\ 7 x & = 13 y \\ x & = \frac{13}{7} y \dots ③ \end{aligned}

・

③

より

x = \frac{13}{7} y

を

②

に代入する

\begin{aligned} ・ & \frac{3}{5} \times \frac{13}{7} y & = \frac{4}{5} y + 33 \\ 39 y & = 28 y + 1155 \\ y & = 105 \end{aligned}

・

y = 105

を

x = \frac{13}{7} y

に代入する

\begin{aligned} ・ & x & = \frac{13}{7} \times 105 \\ = 195 \end{aligned}

答え
男子は

195

人
女子は

105

人

連立方程式の解き方・割合【まとめ】

ポイントをカンタンにまとめます。人数を求める割合の連立方程式の解き方です。

連立方程式の解き方・割合【まとめ】

・割合を使って人数を求める

・人数から方程式を

2

つ作る

・連立方程式を解く

歩合の割合を使って、人数を求める方法

・

求 め る 人 数 = 全 体 の 人 数 \times \frac{割 合 (割)}{10}

百分率の割合を使って、人数を求める方法

・

求 め る 人 数 = 全 体 の 人 数 \times \frac{割 合 (%)}{100}