連立方程式の解き方・割合【人数】

連立方程式の解き方・割合【人数】\(4\)ステップ

「人数を求める割合の連立方程式って、どうやって解くの？」
　
人数を求める割合の連立方程式の解き方は次のとおり。

連立方程式の解き方・割合【人数】\(4\)ステップ

\(1\)、求めるものを\(x\)、\(y\)とする

\(2\)、割合を使って人数を求める

\(3\)、人数から方程式を\(2\)つ作る

\(4\)、連立方程式を解く

\(1\)ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については

・連立方程式の解き方・\(3\)ステップ

へどうぞ。

連立方程式の問題・割合【人数】

人数を求める割合の連立方程式の問題です。

問題
ある中学校では\(67\)\(\mathrm{\%}\)の人が自転車で通学しています。

男女を別にして自転車で通学している人の割合を調べたところ、男子は\(6\)割、女子は\(8\)割でした。

また、その人数を調べたところ、男子は女子より\(33\)人多いことが分かりました。

この中学校の男子と女子の人数をそれぞれ求めましょう。

連立方程式の解き方・割合【人数】

人数を求める割合の連立方程式を解くときは\(1\)番目に、求めるものを\(x\)、\(y\)とします。

ここでは男子と女子の人数をそれぞれ\(x\)、\(y\)人とします。

解き方【ステップ\(1\)】

\(1\)、求めるものを\(x\)、\(y\)とする

・男子の人数を\(x\)人とする

・女子の人数を\(y\)人とする

連立方程式の解き方・割合【人数】\(2\)\(-1\)

\(2\)番目に、割合を使って人数を求めます。

歩合の割合を使って、人数を求める方法は次のとおり。

歩合の割合を使って、人数を求める方法

・ \(\mathrm{求める人数}=\mathrm{全体の人数}\times\frac{\mathrm{割合(割)}}{10}\)

例えば、\(100\)人の\(4\)割が男子のとき、男子の人数の求め方は次のとおり。

・男子の人数\(\hskip2pt=100\times\frac{4}{10}=40\)

・男子の人数は\(40\)人

百分率の割合を使って、人数を求める方法は次のとおり。

百分率の割合を使って、人数を求める方法

・ \(\mathrm{求める人数}=\mathrm{全体の人数}\times\frac{\mathrm{割合(\%)}}{100}\)

例えば、\(100\)人の\(65\)\(\mathrm{\%}\)が男子のとき、男子の人数の求め方は次のとおり。

・男子の人数\(\hskip2pt=100\times\frac{65}{100}=65\)

・男子の人数は\(65\)人

連立方程式の解き方・割合【人数】\(2\)\(-2\)

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、割合を使って人数を求める

・中学校の\(67\)\(\mathrm{\%}\)の人数を求める

・中学校全体の人数は\(x+y\)

・割合は\(67\)\(\mathrm{\%}\)

・ \((x+y)\times\frac{67}{100}=\frac{67}{100}(x+y)\)

・中学校の\(67\)\(\mathrm{\%}\)の人数は\(\frac{67}{100}(x+y)\)

・男子の\(6\)割の人数を求める

・男子全体の人数は\(x\)

・割合は\(6\)割

・ \(x\times\frac{6}{10}=\frac{3}{5}x\)

・男子の\(6\)割の人数は\(\frac{3}{5}x\)

・女子の\(8\)割の人数を求める

・女子全体の人数は\(y\)

・割合は\(8\)割

・ \(y\times\frac{8}{10}=\frac{4}{5}y\)

・女子の\(8\)割の人数は\(\frac{4}{5}y\)

連立方程式の解き方・割合【人数】\(3\)\(-1\)

\(3\)番目に、人数から方程式を\(2\)つ作ります。

\(1\)つ目の方程式は「中学校の\(67\)\(\mathrm{\%}\)の人数は、男子\(6\)割と女子\(8\)割を足した人数と同じ」という方程式を作ります。

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、人数から方程式を\(2\)つ作る

・中学校の\(67\)\(\mathrm{\%}\)の人数は、男子\(6\)割と女子\(8\)割を足した人数と同じ

・ \(\frac{67}{100}(x+y)=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y\)

連立方程式の解き方・割合【人数】\(3\)\(-2\)

\(2\)つ目の方程式は「自転車で通学している男子は、自転車で通学している女子より\(33\)人多い」という方程式を作ります。

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、人数から方程式を\(2\)つ作る

・自転車で通学している男子は、自転車で通学している女子より\(33\)人多い

・男子の\(6\)割の人数\(\hskip2pt=\hskip2pt\)女子の\(8\)割の人数\(\hskip2pt+\hskip2pt\)\(33\)

・ \(\frac{3}{5}x=\frac{4}{5}y+33\)

連立方程式の解き方・割合【人数】\(4\)

\(4\)番目に、連立方程式を解きます。

解き方【ステップ\(4\)】

\(4\)、連立方程式を解く

・ \(\left\{\begin{array}{l}\frac{67}{100}(x+y)=\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y\cdots①\\\frac{3}{5}x=\frac{4}{5}y+33\cdots②\end{array}\right.\)

・ \(①\)を整理する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{67(x+y)}&=60x+80y\cr&&\mathord{7x}&=13y\cr&&\mathord{x}&=\textstyle{\frac{13}{7}y}\cdots③\cr\end{alignat}\)

・ \(③\)より\(x=\frac{13}{7}y\)を\(②\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{\frac{3}{5}\times\frac{13}{7}y}}&=\textstyle{\frac{4}{5}y+33}\cr&&\mathord{39y}&=28y+1155\cr&&\mathord{y}&=105\cr\end{alignat}\)

・ \(y=105\)を\(x=\frac{13}{7}y\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{x}&=\textstyle{\frac{13}{7}\times105}\cr&&\mathord{}&=195\cr\end{alignat}\)

答え
男子は\(195\)人
女子は\(105\)人

連立方程式の解き方・割合【まとめ】

ポイントをカンタンにまとめます。人数を求める割合の連立方程式の解き方です。

連立方程式の解き方・割合【まとめ】

・割合を使って人数を求める

・人数から方程式を\(2\)つ作る

・連立方程式を解く

歩合の割合を使って、人数を求める方法

・ \(\mathrm{求める人数}=\mathrm{全体の人数}\times\frac{\mathrm{割合(割)}}{10}\)

百分率の割合を使って、人数を求める方法

・ \(\mathrm{求める人数}=\mathrm{全体の人数}\times\frac{\mathrm{割合(\%)}}{100}\)