連立方程式の解き方・分数【分母が文字】

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連立方程式の解き方・分数【分母が文字】

「分母が文字のとき、分数の連立方程式って、どうやって解くの？」

分母が文字のとき、分数の連立方程式を解く方法は次のとおり。

連立方程式の解き方・分数【分母が文字】

\(1\)、\(\frac{1}{x}=X\)、\(\frac{1}{y}=Y\)を使って、連立方程式を作る

\(2\)、連立方程式を解いて\(X\)と\(Y\)の値を求める

\(3\)、求めた\(X\)と\(Y\)を\(\frac{1}{x}=X\)、\(\frac{1}{y}=Y\)に代入して、\(x\)、\(y\)の値を求める

\(1\)ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については

・連立方程式の解き方・\(3\)ステップ

・連立方程式の解き方・分数の\(3\)ステップ

へどうぞ。

連立方程式の問題・分数【分母が文字】

分数の分母が文字の連立方程式の問題です。

問題
次の連立方程式を解きましょう。
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\cdots①\\\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=1\cdots②\end{array}\right.\)

連立方程式の解き方・分数【分母が文字】\(1\)

分数の分母が文字の連立方程式を解くときは、\(1\)番目に\(\frac{1}{x}=X\)、\(\frac{1}{y}=Y\)を使って、連立方程式を作ります。

解き方【ステップ\(1\)】

\(1\)、\(\frac{1}{x}=X\)、\(\frac{1}{y}=Y\)を使って、連立方程式を作る

・ \(X\)と\(Y\)を使って\(①\)の方程式を表す

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}&=\textstyle{\frac{5}{6}}\cr&&\mathord{X+Y}&=\textstyle{\frac{5}{6}}\cr\end{alignat}\)

・ \(X\)と\(Y\)を使って\(②\)の方程式を表す

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{\frac{2}{x}+\frac{3}{y}}}&=\textstyle{\frac{5}{6}}\cr&&\mathord{\textstyle{\frac{1}{x}\times2+\frac{1}{y}\times3}}&=\textstyle{\frac{5}{6}}\cr&&\mathord{\textstyle{X\times2+Y\times3}}&=\textstyle{\frac{5}{6}}\cr&&\mathord{2X+3Y}&=\textstyle{\frac{5}{6}}\cr\end{alignat}\)

連立方程式の解き方・分数【分母が文字】\(2\)

\(2\)番目に、連立方程式を解いて\(X\)と\(Y\)の値を求めます。

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、連立方程式を解いて\(X\)と\(Y\)の値を求める

・ \(\left\{\begin{array}{l}X+Y=\frac{5}{6}\cdots①\\2X+3Y=1\cdots②\end{array}\right.\)

・ \(①\)より\(Y=\frac{5}{6}-X\)を\(②\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{2X+3(\frac{5}{6}-X)}}&=1\cr&&\mathord{\textstyle{2X+\frac{5}{2}-3X}}&=1\cr&&\mathord{-X}&=\textstyle{-\frac{1}{2}}\cr&&\mathord{X}&=\textstyle{\frac{1}{2}}\cr\end{alignat}\)

・ \(X=\frac{1}{2}\)を\(Y=\frac{5}{6}-X\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{Y}&=\textstyle{\frac{5}{6}-\frac{1}{2}}\cr&&\mathord{}&=\textstyle{\frac{1}{3}}\cr\end{alignat}\)

連立方程式の解き方・分数【分母が文字】\(3\)

\(3\)番目に、求めた\(X\)と\(Y\)を\(\frac{1}{x}=X\)、\(\frac{1}{y}=Y\)に代入して、\(x\)、\(y\)の値を求めます。

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、求めた\(X\)と\(Y\)を\(\frac{1}{x}=X\)、\(\frac{1}{y}=Y\)に代入して、\(x\)、\(y\)の値を求める

・ \(X=\frac{1}{2}\)を\(\frac{1}{x}=X\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{\frac{1}{x}}}&=\textstyle{\frac{1}{2}}\cr&&\mathord{x}&=2\cr\end{alignat}\)

・ \(Y=\frac{1}{3}\)を\(\frac{1}{y}=Y\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{\frac{1}{y}}}&=\textstyle{\frac{1}{3}}\cr&&\mathord{y}&=3\cr\end{alignat}\)

答え
\(x=2,\kern3pty=3\)

連立方程式の解き方・分数まとめ

分数の分母が文字の連立方程式の解き方をカンタンにまとめます。

連立方程式の解き方・分数まとめ

\(1\)、\(\frac{1}{x}=X\)、\(\frac{1}{y}=Y\)を使って、連立方程式を作る

\(2\)、\(X\)と\(Y\)の値を求める

\(3\)、求めた\(X\)と\(Y\)から、\(x\)、\(y\)の値を求める