一次関数の解き方【交点の座標の求め方】

一次関数交点の座標の求め方 $1$

交点の座標は次の方法で求められます。
$1$ 、一次関数の式を連立方程式として解く。
$2$ 、グラフを書いて交点の座標を調べる。
大切なのは
●連立方程式の答えが交点座標になる。
という点です。ということで、 $1$ の方法を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については
●連立方程式の解き方・3ステップ
へどうぞ。

一次関数交点の座標の求め方 $2$

例えば
●一次関数 $y = x + 6$ と $y = 3 x + 4$ の交点の座標を求めましょう。
という問題であれば
● $y = x + 6$ と $y = 3 x + 4$ の連立方程式として解く
と交点座標が求められます。解いてみましょう。

一次関数交点の座標の求め方 $3$

$y = x + 6$ を、 $y = 3 x + 4$ に代入すると
$\begin{aligned} x + 6 & = 3 x + 4 \\ - 2 x & = - 2 \\ x & = 1 \end{aligned}$ $x = 1$ を、 $y = x + 6$ に代入すると
$\begin{aligned} y & = 1 + 6 \\ y & = 7 \end{aligned}$ となるので交点の座標は $(1, 7)$ と求められます。実際にグラフを書くと $(1, 7)$ で交わっているのが分かりますね。

一次関数交点の座標の求め方 $4$

一次関数交点の座標の求め方1

連立方程式の解と交点座標 $1$

●連立方程式の解がグラフの交点座標になる
ということは
●グラフの交点座標は連立方程式の解になる
ということですね。これをふまえると、次の順序で連立方程式を解けるようになります。
$1$ 、方程式のグラフを書く。
$2$ 、グラフの交点座標を調べる。

連立方程式の解と交点座標 $2$

次の連立方程式をグラフを書いて解いてみましょう。
${\begin{cases} - x + y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$
それぞれの式を $y = ～$ にすると
● $- x + y = 1$ → $y = x + 1$
● $x + y = 3$ → $y = - x + 3$
一次関数の式の形に直せます。これを利用してグラフを書いてみましょう。

連立方程式の解と交点座標 $3$

一次関数交点の座標の求め方2

連立方程式の解と交点座標 $4$

グラフの交点座標は $(1, 2)$ ですね。なので連立方程式の答えは
● $x = 1$ 、 $y = 2$
になります。連立方程式を解く方法は加減法と代入法がありましたが、そこにもう一つ追加しましょう。
$1$ 、加減法
$2$ 、代入法
$3$ 、グラフの交点座標を求める方法

一次関数交点の座標の求め方 $5$

最後に次の交点座標を求めてみましょう。
一次関数交点の座標の求め方3

一次関数交点の座標の求め方 $6$

交点がはんぱな位置なので正確な座標が読み取れませんね。計算していきましょう。次のように解きます。
$1$ 、一次関数の式を作る。
$2$ 、連立方程式として解く。
なお
●山勘で当てる
という方法もあります。

一次関数交点の座標の求め方 $7$

まず一次関数の式を作ります。傾きと切片に注目すると
●直線 $l$ は $(0, 4)$ を通る→切片は $4$
●グラフは右に $1$ 、下に $2$ 進む→傾きは $- 2$
→グラフの式は $y = - 2 x + 4$
●直線 $m$ は $(0, - 6)$ を通る→切片は $- 6$
●グラフは右に $1$ 、上に $1$ 進む→傾きは $1$
→グラフの式は $y = x - 6$
となります。

一次関数交点の座標の求め方 $8$

次は $2$ つの式を連立方程式として解きます。
$y = - 2 x + 4$ に $y = x - 6$ を代入すると
$\begin{aligned} - 2 x + 4 & = x - 6 \\ - 3 x & = - 10 \\ x & = \frac{10}{3} \end{aligned}$

一次関数交点の座標の求め方 $9$

$x = \frac{10}{3}$ を $y = x - 6$ に代入すると
$\begin{aligned} y & = \frac{10}{3} - 6 \\ y & = - \frac{8}{3} \end{aligned}$ 交点座標は $(\frac{10}{3}, - \frac{8}{3})$ と分かりました。見た目通り、はんぱな数が答えになりましたね。山勘で当てられた人はいたでしょうか？