円周角の定理の逆・証明

円周角の定理の逆・証明のやり方\(1\)

「円周角の定理の逆を証明するやり方は？」

円周角の定理の逆・証明のやり方は次のとおり。

円周角の定理の逆・証明のやり方 \(3\)ステップ

\(1\)、点\(\mathrm{P}\)が円の内部にあるとき、\(\angle\mathrm{APB}\)は円周角\(\angle\mathrm{ACB}\)より大きいことを証明する

・

\(2\)、点\(\mathrm{P}\)が円周上にあるとき、\(\angle\mathrm{APB}\)は円周角\(\angle\mathrm{ACB}\)と等しいことを証明する

・

\(3\)、点\(\mathrm{P}\)が円の外部にあるとき、\(\angle\mathrm{APB}\)は円周角\(\angle\mathrm{ACB}\)より小さいことを証明する

・

\(\angle\mathrm{APB}\)と円周角\(\angle\mathrm{ACB}\)の大小関係を証明するやり方は次のとおり。

角の大小関係を証明するやり方

・三角形の外角は、それととなり合わない内角の和に等しいことを使う

・

\(1\)ステップずつ証明していきましょう。

始めに円周角の定理の逆を証明するときの仮定です。

円周角の定理の逆・証明\(0\)

・ \(1\)つの円周上の\(3\)点を\(\mathrm{A},\hskip2pt\mathrm{B},\hskip2pt\mathrm{C}\)とする

・直線\(\mathrm{AB}\)について点\(\mathrm{C}\)と同じ側に点\(\mathrm{P}\)をとる

・

\(1\)番目の円周角の定理の逆・証明のやり方です。

円周角の定理の逆・証明\(1\)

\(1\)、点\(\mathrm{P}\)が円の内部にあるとき、\(\angle\mathrm{APB}\)は円周角\(\angle\mathrm{ACB}\)より大きいことを証明する

・三角形の外角は、それととなり合わない内角の和に等しいことを使う

・

・ \(\mathrm{AP}\)の延長と円の交点を\(\mathrm{D}\)とする

・ \(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AB}}\)に対する円周角は等しいから
\(\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{PDB}\)

・ \(\angle\mathrm{APB}=\angle\mathrm{PDB}+\angle\mathrm{PBD}\)
\(\phantom{\angle\mathrm{APB}}=\angle\mathrm{ACB}+\angle\mathrm{PBD}\)

・よって\(\angle\mathrm{APB}>\angle\mathrm{ACB}\cdots①\)

\(2\)番目の円周角の定理の逆・証明のやり方です。

円周角の定理の逆・証明\(2\)

\(2\)、点\(\mathrm{P}\)が円周上にあるとき、\(\angle\mathrm{APB}\)は円周角\(\angle\mathrm{ACB}\)と等しいことを証明する

・

・ \(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AB}}\)に対する円周角は等しい
\(\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{APB}\cdots②\)

\(3\)番目の円周角の定理の逆・証明のやり方です。

円周角の定理の逆・証明\(3\)

\(3\)、点\(\mathrm{P}\)が円の外部にあるとき、\(\angle\mathrm{APB}\)は円周角\(\angle\mathrm{ACB}\)より小さいことを証明する

・三角形の外角は、それととなり合わない内角の和に等しいことを使う

・

・線分\(\mathrm{AP}\)と円の交点を\(\mathrm{D}\)とする

・ \(\stackrel{\Large\frown}{\mathrm{AB}}\)に対する円周角は等しいから
\(\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{ADB}\)

・ \(\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{APB}+\angle\mathrm{PBD}\)

・ \(\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{APB}+\angle\mathrm{PBD}\)より
\(\angle\mathrm{APB}<\angle\mathrm{ACB}\cdots③\)

・ ①、②、③より\(\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{APB}\)ならば
\(4\)点\(\mathrm{A},\hskip2pt\mathrm{B},\hskip2pt\mathrm{C},\hskip2pt\mathrm{D}\)は\(1\)つの円周上にある

円周角の定理の逆・証明のやり方をカンタンにまとめます。

円周角の定理の逆・証明まとめ

・点\(\mathrm{P}\)の位置を元に\(3\)つに分ける

・ \(\angle\mathrm{APB}\)と円周角\(\angle\mathrm{ACB}\)の大小関係を示す

・角の大小関係を示すときは、三角形の外角はそれととなり合わない内角の和に等しいことを使う