円周角の定理・証明

●円周角の定理・証明のやり方\(1\)
●円周角の定理・証明のやり方\(2\)
●円周角の定理・証明\(1\)\(-1\)
●円周角の定理・証明\(1\)\(-2\)
●円周角の定理・証明\(2\)\(-1\)
●円周角の定理・証明\(2\)\(-2\)
●円周角の定理・証明\(3\)\(-1\)
●円周角の定理・証明\(3\)\(-2\)\(-1\)
●円周角の定理・証明\(3\)\(-2\)\(-2\)
●円周角の定理・証明まとめ
●円周角求め方

円周角の定理・証明のやり方\(1\)

「円周角の定理の証明やり方は？」

円周角の定理・証明のやり方は次のとおり。

円周角の定理・証明のやり方 \(3\)ステップ

\(1\)、円の中心\(\mathrm{O}\)が\(\angle\mathrm{APB}\)の辺上にあるとき、円周角が中心角の半分であることを証明する

\(2\)、円の中心\(\mathrm{O}\)が\(\angle\mathrm{APB}\)の内部にあるとき、円周角が中心角の半分であることを証明する

\(3\)、円の中心\(\mathrm{O}\)が\(\angle\mathrm{APB}\)の外部にあるとき、円周角が中心角の半分であることを証明する

円周角の定理・証明のやり方\(2\)

円周角が中心角の半分であることを証明するやり方は次のとおり。

円周角が中心角の半分であることを証明するやり方

\(1\)、円周角が二等辺三角形の底角であることを示す

\(2\)、中心角が底角の和であることを示す

\(1\)ステップずつ証明していきましょう。

円周角の定理・証明\(1\)\(-1\)

円の中心\(\mathrm{O}\)が\(\angle\mathrm{APB}\)の辺上にあるときの証明です。

円周角の定理・証明\(1\)

\(1\)、円周角が二等辺三角形の底角であることを示す

・ \(\triangle{\mathrm{OPA}}\)は\(\mathrm{OP}=\mathrm{OA}\)の二等辺三角形だから
\(\angle\mathrm{BPA}=\angle\mathrm{OAP}\)

・

円周角の定理・証明\(1\)\(-2\)

円周角の定理・証明\(1\)

\(2\)、中心角が底角の和であることを示す

・ \(\angle\mathrm{BOA}=\angle\mathrm{BPA}+\angle\mathrm{OAP}\)
\(\phantom{\angle\mathrm{BOA}}=2\angle\mathrm{BPA}\)

・よって\(\angle\mathrm{BPA}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{BOA}\cdots①\)

・

円周角の定理・証明\(2\)\(-1\)

円の中心\(\mathrm{O}\)が\(\angle\mathrm{APB}\)の内部にあるときの証明です。

円周角の定理・証明\(2\)\(-1\)

\(1\)、円周角が二等辺三角形の底角であることを示す

・点\(\mathrm{P}\)を通る直径\(\mathrm{PQ}\)をひく

・ \(\triangle{\mathrm{OPA}}\)と\(\triangle{\mathrm{OPB}}\)はそれぞれ
\(\mathrm{OP}=\mathrm{OA}\)
\(\mathrm{OP}=\mathrm{OB}\)の二等辺三角形だから
\(\angle\mathrm{APQ}=\angle\mathrm{OAP}\)
\(\angle\mathrm{BPQ}=\angle\mathrm{OBP}\)

・

円周角の定理・証明\(2\)\(-2\)

\(2\)、中心角が底角の和であることを示す

・ ①の証明と同様に
\(\angle\mathrm{APQ}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOQ}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)
\(\angle\mathrm{BPQ}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{BOQ}\)

・ \(\phantom{={}}\angle\mathrm{APQ}+\angle\mathrm{BPQ}\)
\(=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOQ}+\frac{1}{2}\angle\mathrm{BOQ}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)
\(=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}\)

・よって\(\angle\mathrm{APB}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}\cdots②\)

・

円周角の定理・証明\(3\)\(-1\)

円の中心\(\mathrm{O}\)が\(\angle\mathrm{APB}\)の外部にあるときの証明です。

円周角の定理・証明\(3\)\(-1\)

\(1\)、円周角が二等辺三角形の底角であることを示す

・点\(\mathrm{P}\)を通る直径\(\mathrm{PQ}\)をひく

・ \(\triangle{\mathrm{OPA}}\)は\(\mathrm{OP}=\mathrm{OA}\)の二等辺三角形だから
\(\angle\mathrm{QPA}=\angle\mathrm{OAP}\)

・

・ \(\triangle{\mathrm{OPB}}\)は\(\mathrm{OP}=\mathrm{OB}\)の二等辺三角形だから
\(\angle\mathrm{QPB}=\angle\mathrm{OBP}\)

・

円周角の定理・証明\(3\)\(-2\)\(-1\)

\(2\)、中心角が底角の和であることを示す

・ ①の証明と同様に
\(\angle\mathrm{APQ}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOQ}\)

・

・ \(\angle\mathrm{BPQ}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{BOQ}\)

・

円周角の定理・証明\(3\)\(-2\)\(-2\)

\(2\)、中心角が底角の和であることを示す

・ \(\phantom{={}}\angle\mathrm{APB}\)
\(=\angle\mathrm{BPQ}-\angle\mathrm{APQ}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)
\(=\frac{1}{2}\angle\mathrm{BOQ}-\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOQ}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)
\(=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}\cdots③\)

・

・ ①、②、③より
円周角は中心角の半分になる

円周角の定理・証明まとめ

円周角の定理の証明のしかたをカンタンにまとめます。

円周角の定理の証明・まとめ

・円周角と円の中心の位置をもとに\(3\)つに分ける

・円周角が二等辺三角形の底角であることを示す

・中心角が底角の和であることを示す