連立方程式の解き方・道のり【往復の応用】

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連立方程式の解き方・道のり【往復の応用】

「道のりの連立方程式って、どうやって解くの？」

道のりの連立方程式の解き方は次のとおり。

連立方程式の解き方・道のり【往復の応用】

\(1\)、求める道のりを\(x\)、\(y\)とする

\(2\)、速さと時間の単位をそろえる

\(3\)、道のり・速さ・時間の公式を使って、行きの時間の方程式を作る

\(4\)、道のり・速さ・時間の公式を使って、帰りの時間の方程式を作る

\(5\)、連立方程式を解く

\(1\)ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については

・連立方程式の解き方・\(3\)ステップ

へどうぞ。

連立方程式の問題・道のり【往復の応用】

道のりを求める連立方程式の問題です。

問題
峠を越えて\(\mathrm{A}\)町と\(\mathrm{B}\)町を往復するのに、峠の上りは時速\(3\)\(\mathrm{km}\)、下りは時速\(4.8\mathrm{km}\)の速さで歩いたところ、行きは\(1\)時間\(20\)分、帰りは\(1\)時間\(29\)分かかりました。\(\mathrm{A}\)町から峠までの道のりと峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のりは、それぞれ何\(\mathrm{km}\)ですか。

連立方程式の解き方・道のり【往復の応用】\(1\)

道のりの連立方程式を解くときは、\(1\)番目に求める道のりを\(x\)、\(y\)とします。

ここでは\(\mathrm{A}\)A町から峠まで道のりを\(x\)\(\mathrm{km}\)、峠から\(\mathrm{B}\)B町までの道のりを\(y\)\(\mathrm{km}\)とします。

解き方【ステップ\(1\)】

\(1\)、求める道のりを\(x\)、\(y\)とする

・ \(\mathrm{A}\)町から峠まで道のりを\(x\)\(\mathrm{km}\)とする

・峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のりを\(y\)\(\mathrm{km}\)とする

連立方程式の解き方・道のり【往復の応用】\(2\)

\(2\)番目に、速さと時間の単位をそろえます。速さの単位が時速なので、時間の単位も時間でそろえます。

時間の単位を分から時間にする方法は次のとおり。

時間の単位のそろえ方

・分から時間にするときは\(60\)で割る

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、速さと時間の単位をそろえる

・分から時間にするときは\(60\)で割る

・ \(1\)時間\(20\)分は\(80\)分

・ \(80\div60=\frac{4}{3}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)

・ \(1\)時間\(20\)分は\(\frac{4}{3}\)時間

・ \(1\)時間\(29\)分は\(89\)分

・ \(89\div60=\frac{89}{60}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)

・ \(1\)時間\(20\)分は\(\frac{89}{60}\)時間

連立方程式の解き方・道のり【往復の応用】\(3\)

\(3\)番目に、道のり・速さ・時間の公式を使って、行きの時間の方程式を作ります。\(\mathrm{A}\)町から峠までの時間と峠から\(\mathrm{B}\)町までの時間を足すと\(\frac{4}{3}\)時間になる、という方程式を作ります。

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、道のり・速さ・時間の公式を使って、行きの時間を求める

・ \(\mathrm{A}\)町から峠までの道のりは\(x\)、速さは\(3\)

・ \(\mathrm{A}\)町から峠までの時間\(\hskip2pt=\frac{x}{3}\)

・峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のりは\(y\)、速さは\(4.8\)

・ \(4.8=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}\)

・峠から\(\mathrm{B}\)町までの時間\(\hskip2pt=y\div\frac{24}{5}=\frac{5}{24}y\)

・ \(\mathrm{A}\)町から峠までの時間\(+\)峠から\(\mathrm{B}\)町までの時間=行きの時間

・ \(\frac{x}{3}+\frac{5}{24}y=\frac{4}{3}\)

連立方程式の解き方・道のり【往復の応用】\(4\)

\(4\)番目に、道のり・速さ・時間の公式を使って、帰りの時間の方程式を作ります。\(\mathrm{B}\)町から峠までの時間と峠から\(\mathrm{A}\)町までの時間を足すと\(\frac{89}{60}\)時間になる、という方程式を作ります。

往復する問題を解くときは、行きと帰りは上りと下りが反対なので、速さも反対にします。

解き方【ステップ\(4\)】

\(4\)、道のり・速さ・時間の公式を使って、帰りの時間を求める

・ \(\mathrm{B}\)町から峠までの道のりは\(y\)、速さは\(3\)

・ \(\mathrm{B}\)町から峠までの時間\(\hskip2pt=\frac{y}{3}\)

・峠から\(\mathrm{A}\)町までの道のりは\(x\)、速さは\(4.8\)

・峠から\(\mathrm{A}\)町までの時間\(\hskip2pt=\frac{5}{24}x\)

・ \(\mathrm{B}\)町から峠までの時間\(+\)峠から\(\mathrm{A}\)町までの時間=帰りの時間

・ \(\frac{y}{3}+\frac{5}{24}x=\frac{89}{60}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)

・ \(\frac{5}{24}x+\frac{y}{3}=\frac{89}{60}\)

連立方程式の解き方・道のり【往復の応用】\(5\)

\(4\)番目に、連立方程式を解きます。ステップ\(3\)と\(4\)で作った方程式を連立方程式として解くと、道のりが求められます。

解き方【ステップ\(5\)】

\(5\)、連立方程式を解く

・ \(\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{5}{24}y=\frac{4}{3}\cdots①\\\frac{5}{24}x+\frac{y}{3}=\frac{89}{60}\cdots②\end{array}\right.\)

・ \(\begin{alignat}{3}&\hskip2pt64x&\hskip2pt+&\hskip2pt40y&\hskip2pt=&\hskip2pt256&\hskip2pt\rlap{\cdots①\times192}\\-)&\hskip2pt25x&\hskip2pt+&\hskip2pt40y&\hskip2pt=&\hskip2pt178&\hskip2pt\rlap{\cdots②\times120}\\\hline&\hskip2pt39x&&\hskip2pt&=&\hskip2pt\phantom{256}\llap{78}\\&\hskip2pt\phantom{69x}\llap{x}&&\hskip2pt&=&\hskip2pt\phantom{256}\llap{2}&\end{alignat}\)

・ \(x=2\)を\(①\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{\frac{2}{3}+\frac{5}{24}y}}&=\textstyle{\frac{4}{3}}\cr&&\mathord{16+5y}&=32\cr&&\mathord{5y}&=16\cr&&\mathord{y}&=\textstyle{\frac{16}{5}}\cr\end{alignat}\)

答え
\(\mathrm{A}\)町から峠までの道のりは\(2\mathrm{km}\)
峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のりは\(\frac{16}{5}\mathrm{km}\)

連立方程式の解き方・道のり【まとめ】

ポイントをカンタンにまとめます。往復する道のりを連立方程式で解く方法です。

連立方程式の解き方・道のり【まとめ】

・求める道のりを\(x\)、\(y\)とする

・速さと時間の単位をそろえる

・行きと帰りの時間から方程式を\(2\)つ作る

・ \(2\)つの方程式を連立方程式として解く

往復する問題のポイント

・往復するときは、行きと帰りは上りと下りが反対だから、速さも反対にする