連立方程式の解き方・商と余り

連立方程式の解き方・商と余り \(3\)ステップ

「商と余りの連立方程式って、どうやって解くの？」

次の順番で計算すると、商と余りの連立方程式を解けるようになります。

連立方程式の解き方・商と余り \(3\)ステップ

\(1\)、求める整数を\(x\)、\(y\)とする

\(2\)、商と余りの関係から、方程式を\(2\)つ作る

\(3\)、連立方程式を解く

\(1\)ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については

へどうぞ。

まずは商と余りの問題です。

問題
\(2\)つの整数があります。大きい整数を\(2\)倍して小さい整数で割ると商は\(3\)、余りは\(4\)になります。また、小さい整数を\(9\)倍して大きい整数で割ると商は\(5\)、余りは\(8\)になります。\(2\)つの整数を求めましょう。

商と余りの連立方程式を解くときは、\(1\)番目に求める整数を\(x\)、\(y\)とします。ここでは大きい整数を\(x\)、小さい整数を\(y\)とします。

解き方【ステップ\(1\)】

\(1\)、求める整数を\(x\)、\(y\)とする

・大きい整数を\(x\)とする

・小さい整数を\(y\)とする

\(2\)番目に、商と余りの関係から、方程式を\(2\)つ作ります。商と余りから方程式を作る方法は次のとおり。

商と余りから作る方程式

・割られる数\(\hskip2pt=\hskip2pt\)割る数\(\hskip2pt\times\hskip2pt\)商\(\hskip2pt+\hskip2pt\)余り

\(1\)つ目の方程式は「大きい整数を\(2\)倍して小さい整数で割ると商は\(3\)、余りは\(4\)」から作ります。

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、商と余りの関係から、方程式を\(2\)つ作る

・大きい整数を\(2\)倍して小さい整数で割ると
商は\(3\)、余りは\(4\)

・割られる数は\(2x\)、割る数は\(y\)
商は\(3\)、余りは\(4\)

・ \(2x=y\times3+4\)

\(2\)つ目の方程式は「小さい整数を\(9\)倍して大きい整数で割ると商は\(5\)、余りは\(8\)」から作ります。

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、商と余りの関係から、方程式を\(2\)つ作る

・小さい整数を\(9\)倍して大きい整数で割ると
商は\(5\)、余りは\(8\)

・割られる数は\(9y\)、割る数は\(x\)
商は\(5\)、余りは\(8\)

・ \(9y=x\times5+8\)

\(3\)番目に、連立方程式を解きます。

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、連立方程式を解く

・ \(\left\{\begin{array}{l}2x=3y+4\cdots①\\9y=5x+8\cdots②\end{array}\right.\)

・ \(①\times3\)より

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{6x}&=9y+12\cr&&\mathord{9y}&=6x-12\cr\end{alignat}\)

・ \(9y=6x-12\)を\(②\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{6x-12}&=5x+8\cr&&\mathord{x}&=20\cr\end{alignat}\)

・ \(x=20\)を\(②\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{9y}&=100+8\cr&&\mathord{y}&=12\cr\end{alignat}\)

答え
大きい整数は\(20\)
小さい整数は\(12\)

ポイントをカンタンにまとめます。商と余りの連立方程式を解く方法です。

連立方程式の解き方・商と余りまとめ

・求める整数を\(x\)、\(y\)とする

・商と余りの関係から、方程式を\(2\)つ作る

・商と余りから作る方程式
割られる数\(\hskip2pt=\hskip2pt\)割る数\(\hskip2pt\times\hskip2pt\)商\(\hskip2pt+\hskip2pt\)余り