回転体の体積の求め方

回転体の体積の求め方・\(5\)パターン

「回転体の体積の求め方は？」

回転体の体積の求め方・\(5\)パターンです。

回転体の体積の求め方・\(5\)パターン

\(1\)、長方形の回転体から、円柱の体積を求める

\(2\)、直角三角形の回転体から、円錐の体積を求める

\(3\)、半円の回転体から、球の体積を求める

\(4\)、三角形の回転体から、\(2\)つの円錐を合わせた体積を求める

\(5\)、回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求める

回転体の体積の求め方を見ていきましょう。

回転体の体積の求める問題\(1\)

長方形の回転体から、円柱の体積を求める問題です。

問題\(1\)
下の図の長方形を、直線\(l\)を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

なお、くわしい円柱の体積の求め方は

・円柱の体積の求め方・公式\(1\)ステップ

へどうぞ。

回転体の体積の求め方\(1\)

長方形の回転体から、円柱の体積を求めるときは、底面積と高さを掛けます。

求め方

\(1\)、長方形の回転体から、円柱の体積を求める

・

・円柱の体積\(\hskip2pt=\hskip2pt\)底面積\(\hskip2pt\times\hskip2pt\)高さ

・円柱の体積\(\hskip2pt=3\times3\times\pi\times4=36\pi\)

答え
\(36\pi\mathrm{cm^3}\)

回転体の体積の求める問題\(2\)

直角三角形の回転体から、円錐の体積を求める問題です。

問題\(2\)
下の図の直角三角形を、直線\(l\)を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

なお、くわしい円錐の体積の求め方は

・円錐の体積の求め方・公式\(1\)ステップ

へどうぞ。

回転体の体積の求め方\(2\)

直角三角形の回転体から、円錐の体積を求めるときは、底面積\(\hskip2pt\times\hskip2pt\)高さ\(\hskip2pt\times\frac{1}{3}\)で求めます。

求め方

\(2\)、直角三角形の回転体から、円錐の体積を求める

・

・円錐の体積\(\hskip2pt=\hskip2pt\)底面積\(\hskip2pt\times\hskip2pt\)高さ\(\hskip2pt\times\frac{1}{3}\)

・円錐の体積\(\hskip2pt=3\times3\times\pi\times6\times\frac{1}{3}=18\pi\)

答え
\(18\pi\mathrm{cm^3}\)

回転体の体積の求める問題\(3\)

半円の回転体から、球の体積を求める問題です。

問題\(3\)
下の図の半円を、直線\(l\)を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

なお、くわしい球の体積の求め方は

・球の体積の求め方・公式\(1\)ステップ

へどうぞ。

回転体の体積の求め方\(3\)

半円の回転体から、球の体積を求めるときは、半径\(r\)を\(\frac{4}{3}\pi r^3\)に代入します。

求め方

\(3\)、半円の回転体から、球の体積を求める

・

・球の体積\(\hskip2pt=\frac{4}{3}\pi r^3\)

・ \(r\)は半径

・球の体積\(\hskip2pt=\frac{4}{3}\pi\times3^3=36\pi\)

答え
\(36\pi\mathrm{cm^3}\)

回転体の体積の求める問題\(4\)

三角形の回転体から、\(2\)つの円錐を合わせた体積を求める問題です。

問題\(4\)
下の図の三角形を、直線\(l\)を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

回転体の体積の求め方\(4\)

三角形の回転体から、\(2\)つの円錐を合わせた体積を求めるときは、円錐の体積をそれぞれ求めて足します。

求め方

\(4\)、三角形の回転体から、\(2\)つの円錐を合わせた体積を求める

・

・上の円錐の体積\(\hskip2pt=4^2\times\pi\times6\times\frac{1}{3}=32\pi\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)

・下の円錐の体積\(\hskip2pt=4^2\times\pi\times3\times\frac{1}{3}=16\pi\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)

・ \(2\)つの円錐の体積\(\hskip2pt=32\pi+16\pi=48\pi\)

答え
\(48\pi\mathrm{cm^3}\)

回転体の体積の求める問題\(5\)

回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求める問題です。

問題\(5\)
下の図の長方形を、直線\(l\)を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

回転体の体積の求め方\(5\)

回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求めるときは、大きい円柱の体積から小さい円柱の体積を引きます。

求め方

\(5\)、回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求める

・

・大きい円柱の体積\(\hskip2pt=7^2\times\pi\times4=196\pi\)

・小さい円柱の体積\(\hskip2pt=4^2\times\pi\times4=64\pi\)

・ \(\phantom{={}}\)バームクーヘン状の円柱の体積
\(=\hskip2pt\)大きい円柱の体積\(\hskip2pt-\hskip2pt\)小さい円柱の体積
\(=196\pi-64\pi\)
\(=132\pi\)

答え
\(132\pi\mathrm{cm^3}\)

回転体の体積の求め方・まとめ

カンタンに回転体の体積の求め方をまとめます。

回転体の体積の求め方・まとめ

\(1\)、長方形の回転体から、円柱の体積を求める

・円柱の体積\(\hskip2pt=\hskip2pt\)底面積\(\hskip2pt\times\hskip2pt\)高さ

\(2\)、直角三角形の回転体から、円錐の体積を求める

・円錐の体積\(\hskip2pt=\hskip2pt\)底面積\(\hskip2pt\times\hskip2pt\)高さ\(\hskip2pt\times\frac{1}{3}\)

\(3\)、半円の回転体から、球の体積を求める

・球の体積\(\hskip2pt=\frac{4}{3}\pi r^3\)

\(4\)、三角形の回転体から、\(2\)つの円錐を合わせた体積を求める

・円錐の体積をそれぞれ求めて足す

\(5\)、回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求める

・ \(\phantom{={}}\)バームクーヘン状の円柱の体積
\(=\hskip2pt\)大きい円柱の体積\(\hskip2pt-\hskip2pt\)小さい円柱の体積