回転体の体積の求め方

回転体の体積の求め方・ $5$ パターン

「回転体の体積の求め方は？」

回転体の体積の求め方・ $5$ パターンです。

回転体の体積の求め方・ $5$ パターン

1

、長方形の回転体から、円柱の体積を求める

2

、直角三角形の回転体から、円錐の体積を求める

3

、半円の回転体から、球の体積を求める

4

、三角形の回転体から、

2

つの円錐を合わせた体積を求める

5

、回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求める

回転体の体積の求め方を見ていきましょう。

回転体の体積の求める問題 $1$

長方形の回転体から、円柱の体積を求める問題です。

問題 $1$
下の図の長方形を、直線 $l$ を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

なお、くわしい円柱の体積の求め方は

・円柱の体積の求め方・公式

1

ステップ

へどうぞ。

回転体の体積の求め方 $1$

長方形の回転体から、円柱の体積を求めるときは、底面積と高さを掛けます。

求め方

1

、長方形の回転体から、円柱の体積を求める

・

・円柱の体積

=

底面積

\times

高さ

・円柱の体積

= 3 \times 3 \times π \times 4 = 36 π

答え

36 π {cm}^{3}

回転体の体積の求める問題 $2$

直角三角形の回転体から、円錐の体積を求める問題です。

問題 $2$
下の図の直角三角形を、直線 $l$ を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

なお、くわしい円錐の体積の求め方は

・円錐の体積の求め方・公式

1

ステップ

へどうぞ。

回転体の体積の求め方 $2$

直角三角形の回転体から、円錐の体積を求めるときは、底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{1}{3}$ で求めます。

求め方

2

、直角三角形の回転体から、円錐の体積を求める

・

・円錐の体積

=

底面積

\times

高さ

\times \frac{1}{3}

・円錐の体積

= 3 \times 3 \times π \times 6 \times \frac{1}{3} = 18 π

答え

18 π {cm}^{3}

回転体の体積の求める問題 $3$

半円の回転体から、球の体積を求める問題です。

問題 $3$
下の図の半円を、直線 $l$ を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

なお、くわしい球の体積の求め方は

・球の体積の求め方・公式

1

ステップ

へどうぞ。

回転体の体積の求め方 $3$

半円の回転体から、球の体積を求めるときは、半径 $r$ を $\frac{4}{3} π r^{3}$ に代入します。

求め方

3

、半円の回転体から、球の体積を求める

・

・球の体積

= \frac{4}{3} π r^{3}

・

r

は半径

・球の体積

= \frac{4}{3} π \times 3^{3} = 36 π

答え

36 π {cm}^{3}

回転体の体積の求める問題 $4$

三角形の回転体から、 $2$ つの円錐を合わせた体積を求める問題です。

問題 $4$
下の図の三角形を、直線 $l$ を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

回転体の体積の求め方 $4$

三角形の回転体から、 $2$ つの円錐を合わせた体積を求めるときは、円錐の体積をそれぞれ求めて足します。

求め方

4

、三角形の回転体から、

2

つの円錐を合わせた体積を求める

・

・上の円錐の体積

= 4^{2} \times π \times 6 \times \frac{1}{3} = 32 π

・下の円錐の体積

= 4^{2} \times π \times 3 \times \frac{1}{3} = 16 π

・

2

つの円錐の体積

= 32 π + 16 π = 48 π

答え

48 π {cm}^{3}

回転体の体積の求める問題 $5$

回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求める問題です。

問題 $5$
下の図の長方形を、直線 $l$ を回転の軸としてできる回転体の体積を求めましょう。

回転体の体積の求め方

回転体の体積の求め方 $5$

回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求めるときは、大きい円柱の体積から小さい円柱の体積を引きます。

求め方

5

、回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求める

・

・大きい円柱の体積

= 7^{2} \times π \times 4 = 196 π

・小さい円柱の体積

= 4^{2} \times π \times 4 = 64 π

・

バームクーヘン状の円柱の体積

=

大きい円柱の体積

-

小さい円柱の体積

= 196 π - 64 π

= 132 π

答え

132 π {cm}^{3}

回転体の体積の求め方・まとめ

カンタンに回転体の体積の求め方をまとめます。

回転体の体積の求め方・まとめ

1

、長方形の回転体から、円柱の体積を求める

・円柱の体積

=

底面積

\times

高さ

2

、直角三角形の回転体から、円錐の体積を求める

・円錐の体積

=

底面積

\times

高さ

\times \frac{1}{3}

3

、半円の回転体から、球の体積を求める

・球の体積

= \frac{4}{3} π r^{3}

4

、三角形の回転体から、

2

つの円錐を合わせた体積を求める

・円錐の体積をそれぞれ求めて足す

5

、回転の軸から離れた長方形の回転体から、バームクーヘン状の円柱の体積を求める

・

バームクーヘン状の円柱の体積

=

大きい円柱の体積

-

小さい円柱の体積