連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】

連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】

「道のりの連立方程式って、どうやって解くの？」

道のりの連立方程式の解き方は次のとおり。

連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】

\(1\)、求める道のりを\(x\)、\(y\)とする

\(2\)、道のりから方程式を作る

\(3\)、速さと時間の単位をそろえる

\(4\)、道のり・速さ・時間の公式を使って時間を求める

\(5\)、時間から方程式を作る

\(6\)、連立方程式を解く

\(1\)ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については

・連立方程式の解き方・\(3\)ステップ

へどうぞ。

連立方程式の問題・道のり【峠の応用】

道のりを求める連立方程式の問題です。

問題
\(\mathrm{A}\)町から\(\mathrm{B}\)町までの道のりは、峠をはさんで\(10\)\(\mathrm{km}\)あります。\(\mathrm{A}\)町から峠までを時速\(5\)\(\mathrm{km}\)で、峠から\(\mathrm{B}\)町まで時速\(8\)\(\mathrm{km}\)で歩いたところ、\(1\)時間\(33\)分かかりました。\(\mathrm{A}\)町から峠までの道のりと峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のりを求めましょう。

連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】\(1\)

道のりの連立方程式を解くときは、\(1\)番目に求める道のりを\(x\)、\(y\)とします。

ここでは\(\mathrm{A}\)町から峠まで道のりを\(x\)\(\mathrm{km}\)、峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のりを\(y\)\(\mathrm{km}\)とします。

解き方【ステップ\(1\)】

\(1\)、求める道のりを\(x\)、\(y\)とする

・ \(\mathrm{A}\)町から峠まで道のりを\(x\)\(\mathrm{km}\)とする

・峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のりを\(y\)\(\mathrm{km}\)とする

連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】\(2\)

\(2\)番目に、道のりから方程式を作ります。道のりから方程式を作る方法は次のとおり。

道のりから方程式を作る方法

・ \(\mathrm{A}\)町から峠まで道のり\(\hskip2pt+\hskip2pt\)峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のり\(\hskip2pt=10\)

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、道のりから方程式を作る

・ \(\mathrm{A}\)町から峠まで道のり\(\hskip2pt+\hskip2pt\)峠から\(\mathrm{B}\)町までの道のり\(\hskip2pt=10\)

・ \(x+y=10\)

連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】\(3\)

\(3\)番目に、速さと時間の単位をそろえます。速さの単位が時速なので、時間の単位も時間でそろえます。

時間の単位を分から時間にする方法は次のとおり。

時間の単位のそろえ方

・分から時間にするときは\(60\)で割る

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、速さと時間の単位をそろえる

・分から時間にするときは\(60\)で割る

・ \(1\)時間\(33\)分は\(93\)分

・ \(93\div60=\frac{93}{60}=\frac{31}{20}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)

・ \(1\)時間\(33\)分は\(\frac{31}{20}\)時間

連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】\(4\)

\(4\)番目に、道のり・速さ・時間の公式を使って時間を求めます。時間の求め方は次のとおり。

【時間の求め方】
\(\mathrm{時間}=\frac{\mathrm{道のり}}{\mathrm{速さ}}\)

解き方【ステップ\(4\)】

\(4\)、道のり・速さ・時間の公式を使って時間を求める

・ \(\mathrm{A}\)町から峠までの時間\(\hskip2pt=\frac{x}{5}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)

・峠から\(\mathrm{B}\)町までの時間\(\hskip2pt=\frac{y}{8}\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1ex}}\)

・ \(\mathrm{A}\)町から\(\mathrm{B}\)町までの時間\(\hskip2pt=\frac{31}{20}\)

連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】\(5\)

\(5\)番目に、時間から方程式を作ります。\(\mathrm{A}\)町から峠までの時間と峠から\(\mathrm{B}\)町までの時間を足すと\(\frac{31}{20}\)時間になる、という方程式を作ります。

解き方【ステップ\(5\)】

\(5\)、時間から方程式を作る

・ \(\mathrm{A}\)町から峠までの時間\(+\)峠から\(\mathrm{B}\)町までの時間\(\hskip2pt=\frac{31}{20}\)

・ \(\frac{x}{5}+\frac{y}{8}=\frac{31}{20}\)

連立方程式の解き方・道のり【峠の応用】\(6\)

\(6\)番目に、連立方程式を解きます。連立方程式を解くと道のりが求められます。

解き方【ステップ\(6\)】

\(6\)、連立方程式を解く

・ \(\left\{\begin{array}{l}x+y=10\cdots①\\\frac{x}{5}+\frac{y}{8}=\frac{31}{20}\cdots②\end{array}\right.\)

・ \(②\)の分母をはらう

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{(\frac{x}{5}+\frac{y}{8})\times40}}&=\textstyle{\frac{31}{20}\times40}\cr&&\mathord{8x+5y}&=62\cr\end{alignat}\)

・ \(①\)より \(y=10-x\)を\(8x+5y=62\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{8x+5(10-x)}&=62\cr&&\mathord{3x}&=12\cr&&\mathord{x}&=4\cr\end{alignat}\)

・ \(x=4\)を\(①\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{4+y}&=10\cr&&\mathord{y}&=6\cr\end{alignat}\)

答え
\(\mathrm{A}\)町から峠までの道のりは\(4\)\(\mathrm{km}\)
峠から\(\mathrm{B}\)町まで道のりは\(6\)\(\mathrm{km}\)

連立方程式の解き方・道のり【まとめ】

ポイントをカンタンにまとめます。道のりの連立方程式を解く方法です。

連立方程式の解き方・道のり【まとめ】

・道のりから方程式を作る

・速さと時間の単位をそろえる

・時間から方程式を作る

・時間は道のり・速さ・時間の公式を使って求める