正四角錐の体積の求め方

正四角錐の体積の求め方・ $3$ ステップ

「高さが分からないとき、正四角錐の体積ってどうやって求めるの？」

正四角錐の体積の求め方は次のとおり。

正四角錐の体積の求め方・ $3$ ステップ

1

、直角三角形の比を使って、対角線の半分の長さを求める

2

、三平方の定理を使って、高さを求める

3

、

1

辺と高さを使って、正四角錐の体積を求める

正四角錐の体積の求め方を見ていきましょう。

高さが分からない正四角錐の体積を求める問題です。

問題
底面の $1$ 辺が $6 cm$ 、他の辺が $9 cm$ の正四角錐 $OABCD$ の体積を求めましょう。

正四角錐の体積の求め方

高さが分からない正四角錐の体積を求めるときは、 $1$ 番目に直角三角形の比を使って、対角線の半分の長さを求めます。

$△ ABC$ は直角二等辺三角形なので、辺の比は $1 : 1 : \sqrt{2}$ になります。

直角二等辺三角形の比

求め方 $1$

1

、直角三角形の比を使って、対角線の半分の長さを求める

・直角三角形の比より

6 : AC = 1 : \sqrt{2}

・対角線の長さは

6 \sqrt{2}

・対角線の半分の長さは

3 \sqrt{2}

・

$2$ 番目に、三平方の定理を使って高さを求めます。直角三角形 $OAH$ に三平方の定理を使って、高さ $OH$ を求めます。

求め方 $2$

2

、三平方の定理を使って、高さを求める

・直角三角形

OAH

において

OA = 9, AH = 3 \sqrt{2}

・三平方の定理より

{OH}^{2} = {OA}^{2} - {AH}^{2}

・

求め方 $2$
$\begin{aligned} ・ & {OH}^{2} & = 9^{2} - (3 \sqrt{2})^{2} \\ = 63 \end{aligned}$

・

OH > 0

だから、

OH = 3 \sqrt{7}

・

$3$ 番目に、 $1$ 辺と高さを使って、正四角錐の体積を求めます。

求め方

3

、

1

辺と高さを使って、正四角錐の体積を求める

・

1

辺の長さは

6

、高さは

3 \sqrt{7}

・正四角錐の体積

= 6 \times 6 \times 3 \sqrt{7} \times \frac{1}{3}

= 36 \sqrt{7}

答え

36 \sqrt{7} {cm}^{3}

カンタンに正四角錐の体積の求め方をまとめましょう。

正四角錐の体積の求め方・まとめ

・直角三角形の比と三平方の定理を使って、高さを求める

・

1

辺と高さを使って、正四角錐の体積を求める