数奇な数
中2数学
確率
解き方

確率の求め方・玉

●玉を取り出す問題のポイント
●玉を\(1\)個取り出すときの確率\(1\)
●玉を\(1\)個取り出すときの確率\(2\)
●玉を同時に\(2\)個取り出す問題\(1\)
●玉を同時に取り出すときの樹形図\(1\)
●玉を同時に取り出すときの樹形図\(2\)
●玉を同時に取り出すときの樹形図\(3\)
●玉を同時に2個取り出す問題\(2\)
●玉を\(3\)個取り出す問題\(1\)
●玉を\(3\)個取り出す問題\(2\)
●玉を3個取り出す問題\(3\)
●玉を3個取り出すときの樹形図\(1\)
●玉を3個取り出すときの樹形図\(2\)
●玉を3個取り出す問題\(4\)
●確率 解き方

玉を取り出す問題のポイント

同じ色のビー玉でも、よく見ると傷がついていたり汚れがついていたりして区別できますね。なので玉を取り出す問題を解くときは
●同じ色の玉を区別する
というのがポイントになります。例えば赤玉が\(2\)個あるなら
●\(赤_1\)、\(赤_2\)
というように区別して考えます。これをふまえて次の問題を解いてみましょう。

玉を\(1\)個取り出すときの確率\(1\)

●赤玉が\(99\)個、白玉が\(1\)個、合計\(100\)個の同じ大きさの玉が袋に入っています。袋から\(1\)個の玉を取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めましょう。
●正しい解き方
●起こりうる場合は全部で何通りあるか?
→\(100\)通り
●赤玉の取り出し方は何通りあるか?
→赤玉\(99\)個を区別するから\(99\)通り
なので求める確率は
●\(\frac{99}{100}\)
となります。色が同じでも区別するので、赤玉の取り出し方は\(99\)通りです。それでは同じ色の玉を区別しないとどうなるのでしょうか?次はそれを見てみましょう。

玉を\(1\)個取り出すときの確率\(2\)

同じ色の玉を区別しないと次のようになります。
●間違った解き方
●起こりうる場合は全部で何通りあるか?
→袋には赤玉と白玉が入っているから\(2\)通り
●赤玉の取り出し方は何通りあるか?
赤玉\(99\)個は同じものと見なすから\(1\)通り
なので求める確率は
●\(\frac{1}{2}\)
赤玉のほうがたくさん入っているのに、赤玉を取り出す確率が\(\frac{1}{2}\)→\(50\)%というのは感覚的におかしいですね。なので確率を求めるときは
●同じ色の玉を区別する
という点を意識しましょう。

玉を同時に\(2\)個取り出す問題\(1\)

次は玉を同時に取り出す問題を解いてみましょう。
●袋に赤玉が\(3\)個、白玉が\(1\)個、合計\(4\)個の玉が入っています。袋から同時に\(2\)個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉を取り出す確率を求めましょう。
同時に玉を取り出すので
●順序に注目しなくてもよい
というところがポイントです。

玉を同時に取り出すときの樹形図\(1\)

順序に注目しないで樹形図を書くとき大切なのは
●順番をかえて同じになるものは1つだけ書く
という点です。例えば次のように考えます。
●赤-白と白-赤を同じものとして見なす
→どちらか一方だけを書く
これをふまえて樹形図を書いてみましょう。

玉を同時に取り出すときの樹形図\(2\)

確率 玉1
樹形図の
●\(赤_1\)-\(赤_2\)は書いてある
●\(赤_2\)-\(赤_1\)は書いてない
点に注目しましょう。
●\(赤_1\)-\(赤_2\)と\(赤_2\)-\(赤_1\)
は順序を変えると同じですね。なので\(赤_1\)-\(赤_2\)を書いたときは\(赤_2\)-\(赤_1\)は書きません。

玉を同時に取り出すときの樹形図\(3\)

樹形図から赤玉と白玉を取り出す場合は
確率 玉2
\(3\)通りあることが分かりますね。

玉を同時に2個取り出す問題\(2\)

まとめると
●起こりうる場合は全部で何通りあるか?
→\(6\)通り
●赤玉と白玉を取り出す場合は何通りあるか?
→\(3\)通り
なので求める確率は
●\(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
と解けますね。

玉を\(3\)個取り出す問題\(1\)

最後に玉を\(3\)個取り出す問題を解いてみましょう。
●\(3\)つの袋ア、イ、ウがあります。アの袋には\(1\)、\(3\)、\(8\)、\(9\)の数字が\(1\)つずつ書かれた\(4\)個の玉が入っています。イの袋には\(+\)、\(−\) 、\(×\)の記号が\(1\)つずつ書かれた\(3\)個の玉が入っています。ウの袋には\(2\)、\(5\)、\(6\)の数字が1つずつ書かれた\(3\)個の玉が入っています。ア、イ、ウの順に袋から\(1\)つずつ取り出した玉を左から並べ、玉に書かれた数字や記号を数式として計算したとき、その答えが\(6\)になる確率を求めましょう。

玉を\(3\)個取り出す問題\(2\)

樹形図を書いて整理してみましょう。例えば
●アの袋から\(1\)の玉を取り出すとき、イの袋から\(+\)、\(−\) 、\(×\)の玉を取り出す
可能性がありますよね。これを樹形図で書くと
確率 玉3
となります。

玉を3個取り出す問題\(3\)

続いてウの袋からは\(2\)、\(5\)、\(6\)の玉を取り出す可能性があるので確率 玉4
と書けます。同じようにアの袋から\(3\)、\(8\)、\(9\)の玉を取り出す場合の樹形図を書くと、次のようになります。

玉を3個取り出すときの樹形図\(1\)

確率 玉5

玉を3個取り出すときの樹形図\(2\)

この中で数式の答えが\(6\)になる場合は\(4\)通りあります。
確率 玉6

玉を3個取り出す問題\(4\)

まとめると
●起こりうる場合は全部で何通りあるか?
→\(36\)通り
●計算した答えが\(6\)になる場合は何通りあるか?
→\(4\)通り
なので求める確率は
●\(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
となります。

確率 解き方

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