式の計算の利用・周と面積

式の計算の利用・周と面積 $3$ ステップ

「周と面積を使った式の計算の利用を解く方法は？」

周と面積を使った式の計算の利用を解く方法は次のとおり。

式の計算の利用・周と面積 $3$ ステップ

1

、文字式を利用して周の長さを計算する

2

、文字式を利用して面積を計算する

3

、計算結果を使って説明する

式の計算の利用を解く方法を見ていきましょう。

式の計算の利用・周と面積例題

例題
半径 $r$ の円形の池の周りに、幅が $w$ $m$ の道があります。

道の中央を通る円周の長さを $l$ $m$ 、道の面積を $S m^{2}$ とするとき、

・

S = l w

となることを文字式を利用して証明しましょう。

式の計算の利用・周と面積

式の計算の利用・周と面積 $3$ ステップ $1$

周と面積を使った式の計算の利用を解くときは、 $1$ 番目に文字式を利用して周の長さを計算します。

ここでは道の中央を通る円周の長さを求めます。

式の計算の利用【ステップ $1$ 】

1

、文字式を利用して周の長さを計算する

・

・道の中央を通る円の直径は

2 \times (r + \frac{1}{2} w) = 2 r + w

・道の中央を通る円周の長さは

(2 r + w) \times π = 2 π r + π w

だから

l = 2 π r + π w

式の計算の利用・周と面積 $3$ ステップ $2$ $- 1$

$2$ 番目に、文字式を利用して面積を計算します。ここでは次のようにして道の面積を求めます。

道の面積の求め方

・池と道を合わせた面積

-

池の面積

式の計算の利用【ステップ

2

】

2

、文字式を利用して面積を計算する

・池と道を合わせた面積を計算する

・

・池と道を合わせた面積は

(r + w) \times (r + w) \times π = π (r + w)^{2}

式の計算の利用・周と面積 $3$ ステップ $2$ $- 2$

式の計算の利用【ステップ $2$ 】

2

、文字式を利用して面積を計算する

・池の面積を計算する

・

・池の面積は

r \times r \times π = π r^{2}

式の計算の利用・周と面積 $3$ ステップ $2$ $- 3$

式の計算の利用【ステップ $2$ 】

2

、文字式を利用して面積を計算する

・道の面積を計算する

・

・道の面積は

π (r + w)^{2} - π r^{2}

= π (r^{2} + 2 r w + w^{2}) - π r^{2}

= 2 π r w + π w^{2}

だから

S = 2 π r w + π w^{2}

式の計算の利用・周と面積 $3$ ステップ $3$

$3$ 番目に、計算結果を使って説明します。

式の計算の利用【ステップ $3$ 】

3

、計算結果を使って説明する

・ここで

l w

= (2 π r + π w) \times w

= 2 π r w + π w^{2}

・よって、

S = l w

式の計算の利用・周と面積答え

答え
道の中央を通る円の直径は
$2 \times (r + \frac{1}{2} w) = 2 r + w$
道の中央を通る円周の長さは
$(2 r + w) \times π = 2 π r + π w$ だから
$l = 2 π r + π w$

池と道を合わせた面積は
$(r + w) \times (r + w) \times π = π (r + w)^{2}$
池の面積は
$r \times r \times π = π r^{2}$
道の面積は
$π (r + w)^{2} - π r^{2}$
$= π (r^{2} + 2 r w + w^{2}) - π r^{2}$
$= 2 π r w + π w^{2}$ だから
$S = 2 π r w + π w^{2}$

ここで
$l w$
$= (2 π r + π w) \times w$
$= 2 π r w + π w^{2}$

よって $S = l w$

式の計算の利用・周と面積問題

解き方をカンタンにまとめます。

問題
一辺が $a$ $m$ の正方形の池の周りに幅が $w$ $m$ の道があります。

道の中央を通る正方形の周の長さを $l$ $m$ 、道の面積を $S$ $m^{2}$ とするとき、 $S = l w$ となることを文字式を利用して証明しましょう。

式の計算の利用・周と面積

式の計算の利用・周と面積解き方 $1$

式の計算の利用

1

、文字式を利用して周の長さを計算する

・

・道の中央を通る正方形の周の長さは

4 \times (a + w) = 4 a + 4 w

だから

l = 4 a + 4 w

式の計算の利用・周と面積解き方 $2$

2

、文字式を利用して面積を計算する

・

・池と道を合わせた面積は

(a + 2 w) \times (a + 2 w) = (a + 2 w)^{2}

・池の面積は

a \times a = a^{2}

・道の面積は

(a + 2 w)^{2} - a^{2}

= (a^{2} + 4 a w + 4 w^{2}) - a^{2}

= 4 a w + 4 w^{2}

だから

S = 4 a w + 4 w^{2}

式の計算の利用・周と面積解き方 $3$

3

、計算結果を使って説明する

・ここで

l w

= (4 a + 4 w) \times w

= 4 a w + 4 w^{2}

・よって、

S = l w

式の計算の利用・周と面積答え

答え
道の中央を通る正方形の周の長さは
$4 \times (a + w) = 4 a + 4 w$ だから
$l = 4 a + 4 w$

池と道を合わせた面積は
$(a + 2 w) \times (a + 2 w) = (a + 2 w)^{2}$
池の面積は
$a \times a = a^{2}$
道の面積は
$(a + 2 w)^{2} - a^{2}$
$= (a^{2} + 4 a w + 4 w^{2}) - a^{2}$
$= 4 a w + 4 w^{2}$ だから
$S = 4 a w + 4 w^{2}$

ここで
$l w$
$= (4 a + 4 w) \times w$
$= 4 a w + 4 w^{2}$

よって $S = l w$

式の計算の利用・周と面積【まとめ】

カンタンにポイントをまとめます。式の計算の利用した周と面積の説明の仕方です。

式の計算の利用・周と面積【まとめ】

・周の長さを計算する

・面積を計算する

・計算結果を使って証明する