式の計算の利用・周と面積

式の計算の利用・周と面積 \(3\)ステップ

「周と面積を使った式の計算の利用を解く方法は？」

周と面積を使った式の計算の利用を解く方法は次のとおり。

式の計算の利用・周と面積 \(3\)ステップ

\(1\)、文字式を利用して周の長さを計算する

\(2\)、文字式を利用して面積を計算する

\(3\)、計算結果を使って説明する

式の計算の利用を解く方法を見ていきましょう。

式の計算の利用・周と面積例題

例題
半径\(r\)の円形の池の周りに、幅が\(w\)\(\mathrm{m}\)の道があります。

道の中央を通る円周の長さを\(l\)\(\mathrm{m}\)、道の面積を\(S\mathrm{m}^2\)とするとき、

・ \(S=lw\)

となることを文字式を利用して証明しましょう。

式の計算の利用・周と面積

式の計算の利用・周と面積 \(3\)ステップ\(1\)

周と面積を使った式の計算の利用を解くときは、\(1\)番目に文字式を利用して周の長さを計算します。

ここでは道の中央を通る円周の長さを求めます。

式の計算の利用【ステップ\(1\)】

\(1\)、文字式を利用して周の長さを計算する

・

・道の中央を通る円の直径は
\(2\times\left(r+\frac{1}{2}w\right)=2r+w\)

・道の中央を通る円周の長さは
\((2r+w)\times\pi=2\pi r+\pi w\)だから
\(l=2\pi r+\pi w\)

式の計算の利用・周と面積 \(3\)ステップ\(2\)\(-1\)

\(2\)番目に、文字式を利用して面積を計算します。ここでは次のようにして道の面積を求めます。

道の面積の求め方

・池と道を合わせた面積\(\hskip2pt-\hskip2pt\)池の面積

式の計算の利用【ステップ\(2\)】

\(2\)、文字式を利用して面積を計算する

・池と道を合わせた面積を計算する

・

・池と道を合わせた面積は
\((r+w)\times(r+w)\times\pi=\pi(r+w)^2\)

式の計算の利用・周と面積 \(3\)ステップ\(2\)\(-2\)

式の計算の利用【ステップ\(2\)】

\(2\)、文字式を利用して面積を計算する

・池の面積を計算する

・

・池の面積は
\(r\times r\times\pi=\pi r^2\)

式の計算の利用・周と面積 \(3\)ステップ\(2\)\(-3\)

式の計算の利用【ステップ\(2\)】

\(2\)、文字式を利用して面積を計算する

・道の面積を計算する

・

・道の面積は
\(\phantom{={}}\pi(r+w)^2-\pi r^2\)
\(=\pi(r^2+2rw+w^2)-\pi r^2\)
\(=2\pi rw+\pi w^2\)だから
\(S=2\pi rw+\pi w^2\)

式の計算の利用・周と面積 \(3\)ステップ\(3\)

\(3\)番目に、計算結果を使って説明します。

式の計算の利用【ステップ\(3\)】

\(3\)、計算結果を使って説明する

・ここで
\(\phantom{={}}lw\)
\(=(2\pi r+\pi w)\times w\)
\(=2\pi rw+\pi w^2\)

・よって、\(S=lw\)

式の計算の利用・周と面積答え

答え
道の中央を通る円の直径は
\(2\times\left(r+\frac{1}{2}w\right)=2r+w\)
道の中央を通る円周の長さは
\((2r+w)\times\pi=2\pi r+\pi w\)だから
\(l=2\pi r+\pi w\)

池と道を合わせた面積は
\((r+w)\times(r+w)\times\pi=\pi(r+w)^2\)
池の面積は
\(r\times r\times\pi=\pi r^2\)
道の面積は
\(\phantom{={}}\pi(r+w)^2-\pi r^2\)
\(=\pi(r^2+2rw+w^2)-\pi r^2\)
\(=2\pi rw+\pi w^2\)だから
\(S=2\pi rw+\pi w^2\)

ここで
\(\phantom{={}}lw\)
\(=(2\pi r+\pi w)\times w\)
\(=2\pi rw+\pi w^2\)

よって\(S=lw\)

式の計算の利用・周と面積問題

解き方をカンタンにまとめます。

問題
一辺が\(a\)\(\mathrm{m}\)の正方形の池の周りに幅が\(w\)\(\mathrm{m}\)の道があります。

道の中央を通る正方形の周の長さを\(l\)\(\mathrm{m}\)、道の面積を\(S\)\(\mathrm{m^2}\)とするとき、\(S=lw\)となることを文字式を利用して証明しましょう。

式の計算の利用・周と面積

式の計算の利用・周と面積解き方\(1\)

式の計算の利用

\(1\)、文字式を利用して周の長さを計算する

・

・道の中央を通る正方形の周の長さは
\(4\times(a+w)=4a+4w\)だから
\(l=4a+4w\)

式の計算の利用・周と面積解き方\(2\)

\(2\)、文字式を利用して面積を計算する

・

・池と道を合わせた面積は
\((a+2w)\times(a+2w)=(a+2w)^2\)

・池の面積は
\(a\times a=a^2\)

・道の面積は
\(\phantom{={}}(a+2w)^2-a^2\)
\(=(a^2+4aw+4w^2)-a^2\)
\(=4aw+4w^2\)だから
\(S=4aw+4w^2\)

式の計算の利用・周と面積解き方\(3\)

\(3\)、計算結果を使って説明する

・ここで
\(\phantom{={}}lw\)
\(=(4a+4w)\times w\)
\(=4aw+4w^2\)

・よって、\(S=lw\)

式の計算の利用・周と面積答え

答え
道の中央を通る正方形の周の長さは
\(4\times(a+w)=4a+4w\)だから
\(l=4a+4w\)

池と道を合わせた面積は
\((a+2w)\times(a+2w)=(a+2w)^2\)
池の面積は
\(a\times a=a^2\)
道の面積は
\(\phantom{={}}(a+2w)^2-a^2\)
\(=(a^2+4aw+4w^2)-a^2\)
\(=4aw+4w^2\)だから
\(S=4aw+4w^2\)

ここで
\(\phantom{={}}lw\)
\(=(4a+4w)\times w\)
\(=4aw+4w^2\)

よって\(S=lw\)

式の計算の利用・周と面積【まとめ】

カンタンにポイントをまとめます。式の計算の利用した周と面積の説明の仕方です。

式の計算の利用・周と面積【まとめ】

・周の長さを計算する

・面積を計算する

・計算結果を使って証明する