正四角錐の体積の求め方

正四角錐の体積の求め方・\(3\)ステップ

「高さが分からないとき、正四角錐の体積ってどうやって求めるの？」

正四角錐の体積の求め方は次のとおり。

正四角錐の体積の求め方・\(3\)ステップ

\(1\)、直角三角形の比を使って、対角線の半分の長さを求める

\(2\)、三平方の定理を使って、高さを求める

\(3\)、\(1\)辺と高さを使って、正四角錐の体積を求める

正四角錐の体積の求め方を見ていきましょう。

高さが分からない正四角錐の体積を求める問題です。

問題
底面の\(1\)辺が\(6\mathrm{cm}\)、他の辺が\(9\mathrm{cm}\)の正四角錐\(\mathrm{OABCD}\)の体積を求めましょう。

正四角錐の体積の求め方

高さが分からない正四角錐の体積を求めるときは、\(1\)番目に直角三角形の比を使って、対角線の半分の長さを求めます。

\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)は直角二等辺三角形なので、辺の比は\(1:1:\sqrt{2}\)になります。

直角二等辺三角形の比

求め方\(1\)

\(1\)、直角三角形の比を使って、対角線の半分の長さを求める

・直角三角形の比より\(6:\mathrm{AC}=1:\sqrt{2}\)

・対角線の長さは\(6\sqrt{2}\)

・対角線の半分の長さは\(3\sqrt{2}\)

・

\(2\)番目に、三平方の定理を使って高さを求めます。直角三角形\(\mathrm{OAH}\)に三平方の定理を使って、高さ\(\mathrm{OH}\)を求めます。

求め方\(2\)

\(2\)、三平方の定理を使って、高さを求める

・直角三角形\(\mathrm{OAH}\)において
\(\mathrm{OA}=9,\hskip2pt\mathrm{AH}=3\sqrt{2}\)

・三平方の定理より
\(\mathrm{OH^2}=\mathrm{OA^2}-\mathrm{AH^2}\)

・

求め方\(2\)
\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\mathrm{OH^2}}&=9^2-(3\sqrt{2})^2\cr&&\mathord{}&=63\cr\end{alignat}\)

・ \(\mathrm{OH}>0\)だから、\(\mathrm{OH}=3\sqrt{7}\)

・

\(3\)番目に、\(1\)辺と高さを使って、正四角錐の体積を求めます。

求め方

\(3\)、\(1\)辺と高さを使って、正四角錐の体積を求める

・ \(1\)辺の長さは\(6\)、高さは\(3\sqrt{7}\)

・正四角錐の体積\(\hskip2pt=6\times6\times3\sqrt{7}\times\frac{1}{3}\)
\(\phantom{\mathrm{正四角錐の体積}}\hskip-1pt=36\sqrt{7}\)

答え
\(36\sqrt{7}\mathrm{cm^3}\)

カンタンに正四角錐の体積の求め方をまとめましょう。

正四角錐の体積の求め方・まとめ

・直角三角形の比と三平方の定理を使って、高さを求める

・ \(1\)辺と高さを使って、正四角錐の体積を求める