確率の求め方・くじ\(1\)

●くじの問題パターン
●くじを戻すときと戻さないときの違い
●くじを戻すときの樹形図の書き方
●くじを戻す問題
●くじを戻す問題の解き方\(1\)
●くじを戻すときの樹形図
●くじを戻す問題の解き方\(2\)
●くじを戻さないときの樹形図の書き方
●くじを戻さない問題
●くじを戻さない問題の解き方\(1\)
●くじを戻さないときの樹形図
●くじを戻さない問題の解き方\(2\)
●同時に引くときと続けて引くときの違い
●くじを同時に引く問題
●くじを同時に引く問題の解き方\(1\)

確率の求め方・くじ\(2\)

●くじを同時に引くときの樹形図
●くじを同時に引く問題の解き方\(2\)
●くじが当たりやすいのは先？後？
●くじの問題【先に引いて当たる確率】
●くじの解き方【先に引いて当たる確率】\(1\)
●くじの解き方【先に引いて当たる確率】\(2\)
●くじの解き方【先に引いて当たる確率】\(3\)
●くじの問題【後に引いて当たる確率】
●くじの解き方【後に引いて当たる確率】\(1\)
●くじの解き方【後に引いて当たる確率】\(2\)
●くじの解き方【後に引いて当たる確率】\(3\)
●確率解き方

くじの問題パターン

くじの問題でよく受ける質問が\(3\)つあります。
\(1\)、くじを戻すときと戻さないときの違いって？
\(2\)、くじを同時に引く問題ってどうやって解くの？
\(3\)、くじが当たりやすいのは先？それとも後？
結論から書くと
\(1\)、同じくじを引くか引かないかの違い。
\(2\)、順序に注目しない樹形図を書いて解く。
\(3\)、当たりやすさは同じ。
となります。それぞれ見ていきましょう。

くじを戻すときと戻さないときの違い

まず結論です。
●くじを戻すとき→同じくじを引くことがある
●くじを戻さないとき→同じくじは引かない
例えば\(1\)、\(2\)、\(3\)の数字が書かれたくじをあったとします。このとき
●くじを戻すとき
\(1\)を引く→くじを戻す→\(1\)を引く
ということが起こりえますね。それに対して
●くじを戻さないとき
\(1\)を引く→くじを戻さない→残りは\(2\)と\(3\)→\(2\)か\(3\)を引く
となるので、\(1\)を\(2\)回引くことはありません。これをふまえて樹形図を書いていきます。

くじを戻すときの樹形図の書き方

くじを戻すときの樹形図は
●同じくじを引く場合をふくめる
というのがポイントです。例えば
●\(1\)のくじを引いて、もう一度\(1\)を引く
●\(2\)のくじを引いて、もう一度\(2\)を引く
といった場合ですね。なので
●\(1\)－\(1\)や\(2\)－\(2\)
といった場合もふくめて書いていきます。これをふまえて問題を解いてみましょう。

くじを戻す問題

●\(5\)本のくじの中に当たりくじが\(3\)本入っている箱があります。この中から\(1\)本くじを引き、結果を確認してくじを戻します。これを\(2\)回くり返すとき、当たりくじを\(2\)回引く確率を求めましょう。

くじを戻す問題の解き方\(1\)

次の順序で解きます。
\(1\)、くじに数字をふって区別する
\(2\)、同じくじを引く場合をふくめた樹形図を書く
この問題は当たりくじが\(3\)本あるので
●当たりくじを\(1\)、\(2\)、\(3\)、はずれくじを\(4\)、\(5\)とする
としましょう。例えば
●\(1\)のくじを引く→当たり
●\(4\)のくじを引く→はずれ
と考えます。樹形図を書くときは、同じくじを引く場合をふくめます。

くじを戻すときの樹形図

●同じくじを引くことがある
確率くじ1

くじを戻す問題の解き方\(2\)

樹形図から分かることは
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→\(25\)通り
●そのうち、当たりくじを\(2\)回引く場合は何通りあるか？
→\(9\)通り
→求める確率は\(\frac{9}{25}\)
となります。

くじを戻さないときの樹形図の書き方

くじを戻さないときの樹形図は
●同じくじを引かない
というのがポイントです。例えば\(1\)、\(2\)、\(3\)の数字が書かれたくじを引くなら
●\(1\)のくじを引いて、もう一度\(1\)を引く
といったことはないですね。なので
●\(1\)－\(1\)や\(2\)－\(2\)
といった場合は書きません。これをふまえて問題を解いてみましょう。

くじを戻さない問題

●\(5\)本のくじの中に当たりくじが\(3\)本入っている箱があります。この中から\(1\)本くじを引き、続けてもう\(1\)本くじを引きます。このとき、当たりくじを\(2\)回引く確率を求めましょう。

くじを戻さない問題の解き方\(1\)

次の順序で解きます。
\(1\)、くじに数字をふって区別する
\(2\)、同じくじは引かない樹形図を書く
まず、くじを戻すときと同じように
●当たりくじを\(1\)、\(2\)、\(3\)、はずれくじを\(4\)、\(5\)とする
としましょう。違うのは樹形図の書き方です。同じくじは引かない樹形図を書きます。

くじを戻さないときの樹形図

●同じくじは引かない
確率くじ2

くじを戻さない問題の解き方\(2\)

同じくじを引かないので、起こりうる場合が少なくなっていますね。まとめると
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→\(20\)通り
●そのうち、当たりくじを\(2\)回引く場合は何通りあるか？
→\(6\)通り
→求める確率は\(\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)
となります。

同時に引くときと続けて引くときの違い

くじを同時に引くときのポイントは
●順序に注目しない
ことです。例えば\(1\)、\(2\)の数字が書かれたくじをあったとしましょう。このとき
●同時に\(2\)枚引くとき
→\(1\)と\(2\)を引く順序は関係ない
→\(1\)－\(2\)と\(2\)－\(1\)は同じとみなす
→くじの引き方は\(1\)－\(2\)（または\(2\)－\(1\)）の\(1\)通り。
と考えます。それに対して
●\(1\)枚ずつ続けて引くとき
→\(1\)と\(2\)を引く順序に注目する
→\(1\)－\(2\)と\(2\)－\(1\)は違うとみなす
→くじの引き方は\(1\)－\(2\)と\(2\)－\(1\)の\(2\)通り。
と考えるのが基本です。これをふまえて問題を解いてみましょう。

くじを同時に引く問題

●\(5\)本のくじの中に当たりくじが\(3\)本入っている箱があります。この中から同時に\(2\)本のくじを引くとき、\(2\)本とも当たりくじを引く確率を求めましょう。

くじを同時に引く問題の解き方\(1\)

次の手順で解きます。
\(1\)、くじに数字をふって区別する
\(2\)、順番をかえて同じになるものは\(1\)通りとみなす
まず
●当たりくじを\(1\)、\(2\)、\(3\)、はずれくじを\(4\)、\(5\)とする
としましょう。次に順番をかえて同じになるものは\(1\)通りとみなして樹形図を書きます。

くじを同時に引くときの樹形図

●例えば\(1\)－\(2\)と\(2\)－\(1\)は\(1\)通りと見なす
→\(1\)－\(2\)を書いたら\(2\)－\(1\)は書かない
確率くじ3

くじを同時に引く問題の解き方\(2\)

樹形図から
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→\(10\)通り
●そのうち、\(2\)本とも当たりくじを引く場合は何通りあるか？
→\(3\)通り
→求める確率は\(\frac{3}{10}\)
となります。よく見ると、くじを戻さないときと同じ答えになっていますね。考えてみると
●くじを同時に引く→くじを戻さないで引くことと同じ
なので、同じ答えになるのは自然に感じられますね。

くじが当たりやすいのは先？後？

くじを引くとき
●先に引くほうが当たりやすいよ。だって、当たりがたくさん残ってるから。
と考える人もいれば
●後に引いた方が当たりやすいと思う。残りものには福があるっていうじゃん。
と考える人もいますね。どっちが正しいのでしょう？数学的には
●当たりやすさは同じ
です。確認してみましょう。

くじの問題【先に引いて当たる確率】

●\(4\)本のくじの中に当たりくじが\(1\)本入っている箱があります。この中からチドリさんがくじを\(1\)本引き、それを箱に戻さずにタカヤさんがくじを\(1\)本を引きます。このときチドリさんが当たりくじを引く確率を求めましょう。

くじの解き方【先に引いて当たる確率】\(1\)

次の手順で解きます。
\(1\)、くじに数字をふって区別する
\(2\)、順序に注目して樹形図を書く
まず
●当たりくじを\(1\)、はずれくじを\(2\)、\(3\)、\(4\)
としましょう。次に、順序に注目して樹形図を書きます。例えば
●チドリが\(1\)を引き、タカヤが\(2\)を引くとき
→樹形図は\(1\)－\(2\)
●チドリが\(2\)を引き、タカヤが\(1\)を引くとき
→樹形図は\(2\)－\(1\)
というように書きます。

くじの解き方【先に引いて当たる確率】\(2\)

チドリ、タカヤの順にくじを引いたときの樹形図
確率くじ4

くじの解き方【先に引いて当たる確率】\(3\)

樹形図から
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→\(12\)通り
●そのうち、チドリが当たりを引く場合は何通りあるか？
→\(3\)通り
→求める確率は\(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
となります。なお、もっと簡単に
●チドリが当たる確率を答える
→タカヤの結果は関係ない
→チドリのくじの引き方だけに注目
→\(4\)本中\(1\)本当たりがあるくじを引くので、当たる確率は\(\frac{1}{4}\)
と考えても正解です。

くじの問題【後に引いて当たる確率】

最後に後に引いて当たる確率を求めてみましょう。
●\(4\)本のくじの中に当たりくじが\(1\)本入っている箱があります。この中からチドリさんがくじを\(1\)本引き、それを箱に戻さずにタカヤさんがくじを\(1\)本を引きます。このときタカヤさんが当たりくじを引く確率を求めましょう。

くじの解き方【後に引いて当たる確率】\(1\)

次の手順で解きます。
\(1\)、くじに数字をふって区別する
\(2\)、順序に注目して樹形図を書く
さっきと同じように
●当たりくじを\(1\)、はずれくじを\(2\)、\(3\)、\(4\)
として、順序に注目して樹形図を書きます。

くじの解き方【後に引いて当たる確率】\(2\)

チドリ、タカヤの順にくじを引いたときの樹形図
確率くじ5

くじの解き方【後に引いて当たる確率】\(3\)

樹形図から
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→\(12\)通り
●そのうち、タカヤが当たりを引く場合は何通りあるか？
→\(3\)通り
→求める確率は\(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
となります。さっきの結果と合わせると
●チドリとタカヤの当たりを引く確率は同じ
です。なので結論としては
●くじを先に引いても後に引いても当たる確率は同じ
になります。