ルートの計算・因数分解

ルートの計算・因数分解\(3\)パターン

「因数分解を使ったルートの計算方法は？」

因数分解を使ったルートの計算・\(3\)パターンです。

ルートの計算・因数分解\(3\)パターン

\(1\)、\(x^2-y^2\)を計算するときは
因数分解をして\((x+y)(x-y)\)を計算する

\(2\)、\(x^2+2xy+y^2\)を計算するときは
因数分解をして\((x+y)^2\)を計算する

\(3\)、\(x^2-2xy+y^2\)を計算するときは
因数分解をして\((x-y)^2\)を計算する

因数分解を使ったルートの計算を見ていきましょう。

問題\(1\)
\(x=\sqrt{3}+2\)、\(y=\sqrt{3}-2\)のとき、
\(x^2-y^2\)の値を計算しましょう。

\(x^2-y^2\)を計算するときは、因数分解をして\((x+y)(x-y)\)を計算します。

因数分解をしたあとは、\((x+y)\)と\((x-y)\)をそれぞれ計算します。

\(1\)、因数分解をして\((x+y)(x-y)\)を計算する

・ \((x+y)\)を計算する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{(x+y)}&=(\sqrt{3}+2)+(\sqrt{3}-2)\cr&&\mathord{}&=2\sqrt{3}\cr\end{alignat}\)

・ \((x-y)\)を計算する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{(x-y)}&=(\sqrt{3}+2)-(\sqrt{3}-2)\cr&&\mathord{}&=4\cr\end{alignat}\)

・ \((x+y)(x-y)\)を計算する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{(x+y)(x-y)}&=2\sqrt{3}\times4\cr&&\mathord{}&=8\sqrt{3}\cr\end{alignat}\)

答え
\(8\sqrt{3}\)

問題\(2\)
\(x=\sqrt{5}+\sqrt{2}\)、\(y=\sqrt{5}-\sqrt{2}\)のとき、
\(x^2+2xy+y^2\)の値を計算しましょう。

\(x^2+2xy+y^2\)を計算するときは、因数分解をして\((x+y)^2\)を計算します。

因数分解をしたあとは、\((x+y)\)を計算してから\(2\)乗します。

\(2\)、因数分解をして\((x+y)^2\)を計算する

・ \((x+y)\)を計算する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{(x+y)}&=(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})\cr&&\mathord{}&=2\sqrt{5}\cr\end{alignat}\)

・ \((x+y)^2\)を計算する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{(x+y)^2}&=(2\sqrt{5})^2\cr&&\mathord{}&=20\cr\end{alignat}\)

答え
\(20\)

問題\(3\)
\(x=6+\sqrt{2}\)、\(y=6-\sqrt{2}\)のとき、
\(x^2-2xy+y^2\)の値を計算しましょう。

\(x^2-2xy+y^2\)を計算するときは、因数分解をして\((x-y)^2\)を計算します。

因数分解をしたあとは、\((x-y)\)を計算してから\(2\)乗します。

\(3\)、因数分解をして\((x-y)^2\)を計算する

・ \((x-y)\)を計算する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{(x-y)}&=(6+\sqrt{2})-(6-\sqrt{2})\cr&&\mathord{}&=2\sqrt{2}\cr\end{alignat}\)

・ \((x-y)^2\)を計算する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{(x-y)^2}&=(2\sqrt{2})^2\cr&&\mathord{}&=8\cr\end{alignat}\)

答え
\(8\)

カンタンに因数分解を使ったルートの計算のやり方をまとめましょう。

ルートの計算・因数分解【まとめ】

・ \(x^2-y^2\)を因数分解をして
\((x+y)(x-y)\)を計算する

・ \(x^2+2xy+y^2\)を因数分解をして
\((x+y)^2\)を計算する

・ \(x^2-2xy+y^2\)を因数分解をして
\((x-y)^2\)を計算する