二次方程式の解き方・平方完成

二次方程式の解き方・平方完成 $5$ ステップ

「平方完成を使った二次方程式の解き方が知りたい」

次の順番で計算すると、平方完成を使って二次方程式を解けるようになります。

二次方程式の解き方・平方完成 $5$ ステップ

1

、定数項を移項する

2

、

x

の係数の半分の

2

乗を両辺に足す

3

、因数分解する

4

、平方根を求める

5

、式をまとめる

1

ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

まずは問題です。

問題 $1$ 　次の二次方程式を解きましょう。
$x^{2} + 3 x + 1 = 0$

平方完成を使って解いてみます。

平方完成を使って二次方程式を解くときは、 $1$ 番目に定数項を移項します。

二次方程式の解き方・平方完成 $1$

1

、定数項を移項する

\begin{aligned} ・ & x^{2} + 3 x + 1 & = 0 \\ x^{2} + 3 x & = - 1 \end{aligned}

$2$ 番目に、 $x$ の係数の半分の $2$ 乗を両辺に足します。足したあと、右辺の式をカンタンにします。

二次方程式の解き方・平方完成 $2$

2

、

x

の係数の半分の

2

乗を両辺に足す

\begin{aligned} ・ & x^{2} + 3 x & = - 1 \\ x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} & = - 1 + {(\frac{3}{2})}^{2} \\ x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} & = \frac{5}{4} \end{aligned}

$3$ 番目に、因数分解します。因数分解するときは、ステップ $2$ で足した数を使います。

二次方程式の解き方・平方完成 $3$

3

、因数分解する

\begin{aligned} ・ & x^{2} + 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} & = \frac{5}{4} \\ {(x + \frac{3}{2})}^{2} & = \frac{5}{4} \end{aligned}

$4$ 番目に、平方根を求めます。

二次方程式の解き方・平方完成 $4$

4

、平方根を求める

\begin{aligned} ・ & {(x + \frac{3}{2})}^{2} & = \frac{5}{4} \\ x + \frac{3}{2} & = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \end{aligned}

$5$ 番目に、式をまとめます。左辺の定数項を右辺に移項して、式をまとめます。

二次方程式の解き方・平方完成 $5$

5

、式をまとめる

\begin{aligned} ・ & x + \frac{3}{2} & = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \\ x & = - \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \\ x & = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{aligned}

答え

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}

平方完成を使った二次方程式の解き方をカンタンにまとめます。

二次方程式の解き方・平方完成【まとめ】

・因数分解する

・平方根を求める

・式をまとめる