確率の求め方・くじ $1$

●くじの問題パターン
●くじを戻すときと戻さないときの違い
●くじを戻すときの樹形図の書き方
●くじを戻す問題
●くじを戻す問題の解き方 $1$
●くじを戻すときの樹形図
●くじを戻す問題の解き方 $2$
●くじを戻さないときの樹形図の書き方
●くじを戻さない問題
●くじを戻さない問題の解き方 $1$
●くじを戻さないときの樹形図
●くじを戻さない問題の解き方 $2$
●同時に引くときと続けて引くときの違い
●くじを同時に引く問題
●くじを同時に引く問題の解き方 $1$

確率の求め方・くじ $2$

●くじを同時に引くときの樹形図
●くじを同時に引く問題の解き方 $2$
●くじが当たりやすいのは先？後？
●くじの問題【先に引いて当たる確率】
●くじの解き方【先に引いて当たる確率】 $1$
●くじの解き方【先に引いて当たる確率】 $2$
●くじの解き方【先に引いて当たる確率】 $3$
●くじの問題【後に引いて当たる確率】
●くじの解き方【後に引いて当たる確率】 $1$
●くじの解き方【後に引いて当たる確率】 $2$
●くじの解き方【後に引いて当たる確率】 $3$
●確率解き方

くじの問題パターン

くじの問題でよく受ける質問が $3$ つあります。
$1$ 、くじを戻すときと戻さないときの違いって？
$2$ 、くじを同時に引く問題ってどうやって解くの？
$3$ 、くじが当たりやすいのは先？それとも後？
結論から書くと
$1$ 、同じくじを引くか引かないかの違い。
$2$ 、順序に注目しない樹形図を書いて解く。
$3$ 、当たりやすさは同じ。
となります。それぞれ見ていきましょう。

くじを戻すときと戻さないときの違い

まず結論です。
●くじを戻すとき→同じくじを引くことがある
●くじを戻さないとき→同じくじは引かない
例えば $1$ 、 $2$ 、 $3$ の数字が書かれたくじをあったとします。このとき
●くじを戻すとき
$1$ を引く→くじを戻す→ $1$ を引く
ということが起こりえますね。それに対して
●くじを戻さないとき
$1$ を引く→くじを戻さない→残りは $2$ と $3$ → $2$ か $3$ を引く
となるので、 $1$ を $2$ 回引くことはありません。これをふまえて樹形図を書いていきます。

くじを戻すときの樹形図の書き方

くじを戻すときの樹形図は
●同じくじを引く場合をふくめる
というのがポイントです。例えば
● $1$ のくじを引いて、もう一度 $1$ を引く
● $2$ のくじを引いて、もう一度 $2$ を引く
といった場合ですね。なので
● $1$ － $1$ や $2$ － $2$
といった場合もふくめて書いていきます。これをふまえて問題を解いてみましょう。

くじを戻す問題

● $5$ 本のくじの中に当たりくじが $3$ 本入っている箱があります。この中から $1$ 本くじを引き、結果を確認してくじを戻します。これを $2$ 回くり返すとき、当たりくじを $2$ 回引く確率を求めましょう。

くじを戻す問題の解き方 $1$

次の順序で解きます。
$1$ 、くじに数字をふって区別する
$2$ 、同じくじを引く場合をふくめた樹形図を書く
この問題は当たりくじが $3$ 本あるので
●当たりくじを $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、はずれくじを $4$ 、 $5$ とする
としましょう。例えば
● $1$ のくじを引く→当たり
● $4$ のくじを引く→はずれ
と考えます。樹形図を書くときは、同じくじを引く場合をふくめます。

くじを戻すときの樹形図

●同じくじを引くことがある
確率くじ1

くじを戻す問題の解き方 $2$

樹形図から分かることは
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→ $25$ 通り
●そのうち、当たりくじを $2$ 回引く場合は何通りあるか？
→ $9$ 通り
→求める確率は $\frac{9}{25}$
となります。

くじを戻さないときの樹形図の書き方

くじを戻さないときの樹形図は
●同じくじを引かない
というのがポイントです。例えば $1$ 、 $2$ 、 $3$ の数字が書かれたくじを引くなら
● $1$ のくじを引いて、もう一度 $1$ を引く
といったことはないですね。なので
● $1$ － $1$ や $2$ － $2$
といった場合は書きません。これをふまえて問題を解いてみましょう。

くじを戻さない問題

● $5$ 本のくじの中に当たりくじが $3$ 本入っている箱があります。この中から $1$ 本くじを引き、続けてもう $1$ 本くじを引きます。このとき、当たりくじを $2$ 回引く確率を求めましょう。

くじを戻さない問題の解き方 $1$

次の順序で解きます。
$1$ 、くじに数字をふって区別する
$2$ 、同じくじは引かない樹形図を書く
まず、くじを戻すときと同じように
●当たりくじを $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、はずれくじを $4$ 、 $5$ とする
としましょう。違うのは樹形図の書き方です。同じくじは引かない樹形図を書きます。

くじを戻さないときの樹形図

●同じくじは引かない
確率くじ2

くじを戻さない問題の解き方 $2$

同じくじを引かないので、起こりうる場合が少なくなっていますね。まとめると
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→ $20$ 通り
●そのうち、当たりくじを $2$ 回引く場合は何通りあるか？
→ $6$ 通り
→求める確率は $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
となります。

同時に引くときと続けて引くときの違い

くじを同時に引くときのポイントは
●順序に注目しない
ことです。例えば $1$ 、 $2$ の数字が書かれたくじをあったとしましょう。このとき
●同時に $2$ 枚引くとき
→ $1$ と $2$ を引く順序は関係ない
→ $1$ － $2$ と $2$ － $1$ は同じとみなす
→くじの引き方は $1$ － $2$ （または $2$ － $1$ ）の $1$ 通り。
と考えます。それに対して
● $1$ 枚ずつ続けて引くとき
→ $1$ と $2$ を引く順序に注目する
→ $1$ － $2$ と $2$ － $1$ は違うとみなす
→くじの引き方は $1$ － $2$ と $2$ － $1$ の $2$ 通り。
と考えるのが基本です。これをふまえて問題を解いてみましょう。

くじを同時に引く問題

● $5$ 本のくじの中に当たりくじが $3$ 本入っている箱があります。この中から同時に $2$ 本のくじを引くとき、 $2$ 本とも当たりくじを引く確率を求めましょう。

くじを同時に引く問題の解き方 $1$

次の手順で解きます。
$1$ 、くじに数字をふって区別する
$2$ 、順番をかえて同じになるものは $1$ 通りとみなす
まず
●当たりくじを $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、はずれくじを $4$ 、 $5$ とする
としましょう。次に順番をかえて同じになるものは $1$ 通りとみなして樹形図を書きます。

くじを同時に引くときの樹形図

●例えば $1$ － $2$ と $2$ － $1$ は $1$ 通りと見なす
→ $1$ － $2$ を書いたら $2$ － $1$ は書かない
確率くじ3

くじを同時に引く問題の解き方 $2$

樹形図から
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→ $10$ 通り
●そのうち、 $2$ 本とも当たりくじを引く場合は何通りあるか？
→ $3$ 通り
→求める確率は $\frac{3}{10}$
となります。よく見ると、くじを戻さないときと同じ答えになっていますね。考えてみると
●くじを同時に引く→くじを戻さないで引くことと同じ
なので、同じ答えになるのは自然に感じられますね。

くじが当たりやすいのは先？後？

くじを引くとき
●先に引くほうが当たりやすいよ。だって、当たりがたくさん残ってるから。
と考える人もいれば
●後に引いた方が当たりやすいと思う。残りものには福があるっていうじゃん。
と考える人もいますね。どっちが正しいのでしょう？数学的には
●当たりやすさは同じ
です。確認してみましょう。

くじの問題【先に引いて当たる確率】

● $4$ 本のくじの中に当たりくじが $1$ 本入っている箱があります。この中からチドリさんがくじを $1$ 本引き、それを箱に戻さずにタカヤさんがくじを $1$ 本を引きます。このときチドリさんが当たりくじを引く確率を求めましょう。

くじの解き方【先に引いて当たる確率】 $1$

次の手順で解きます。
$1$ 、くじに数字をふって区別する
$2$ 、順序に注目して樹形図を書く
まず
●当たりくじを $1$ 、はずれくじを $2$ 、 $3$ 、 $4$
としましょう。次に、順序に注目して樹形図を書きます。例えば
●チドリが $1$ を引き、タカヤが $2$ を引くとき
→樹形図は $1$ － $2$
●チドリが $2$ を引き、タカヤが $1$ を引くとき
→樹形図は $2$ － $1$
というように書きます。

くじの解き方【先に引いて当たる確率】 $2$

チドリ、タカヤの順にくじを引いたときの樹形図
確率くじ4

くじの解き方【先に引いて当たる確率】 $3$

樹形図から
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→ $12$ 通り
●そのうち、チドリが当たりを引く場合は何通りあるか？
→ $3$ 通り
→求める確率は $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
となります。なお、もっと簡単に
●チドリが当たる確率を答える
→タカヤの結果は関係ない
→チドリのくじの引き方だけに注目
→ $4$ 本中 $1$ 本当たりがあるくじを引くので、当たる確率は $\frac{1}{4}$
と考えても正解です。

くじの問題【後に引いて当たる確率】

最後に後に引いて当たる確率を求めてみましょう。
● $4$ 本のくじの中に当たりくじが $1$ 本入っている箱があります。この中からチドリさんがくじを $1$ 本引き、それを箱に戻さずにタカヤさんがくじを $1$ 本を引きます。このときタカヤさんが当たりくじを引く確率を求めましょう。

くじの解き方【後に引いて当たる確率】 $1$

次の手順で解きます。
$1$ 、くじに数字をふって区別する
$2$ 、順序に注目して樹形図を書く
さっきと同じように
●当たりくじを $1$ 、はずれくじを $2$ 、 $3$ 、 $4$
として、順序に注目して樹形図を書きます。

くじの解き方【後に引いて当たる確率】 $2$

チドリ、タカヤの順にくじを引いたときの樹形図
確率くじ5

くじの解き方【後に引いて当たる確率】 $3$

樹形図から
●起こりうる場合は全部で何通りあるか？
→ $12$ 通り
●そのうち、タカヤが当たりを引く場合は何通りあるか？
→ $3$ 通り
→求める確率は $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
となります。さっきの結果と合わせると
●チドリとタカヤの当たりを引く確率は同じ
です。なので結論としては
●くじを先に引いても後に引いても当たる確率は同じ
になります。