連立方程式の解き方・比で分ける

連立方程式の解き方・比で分ける \(5\)ステップ

「比で分ける連立方程式って、どうやって解くの？」

比で分ける連立方程式の解き方は次のとおり。

連立方程式の解き方・比で分ける \(5\)ステップ

\(1\)、求めるものを\(x\)、\(y\)とする

\(2\)、分けた数から方程式を作る

\(3\)、比で分けた数を求める

\(4\)、比で分けた数を使って方程式を作る

\(5\)、連立方程式を解く

\(1\)ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

連立方程式の解き方については

・連立方程式の解き方・\(3\)ステップ

へどうぞ。

連立方程式の問題・比で分ける

比で分ける連立方程式の問題です。

問題
\(126\)枚の折り紙を\(3\)つの箱\(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\)に分けます。

始めに\(\mathrm{A}\)と\(\mathrm{B}\)に同じ枚数ずつ分け、残りを\(\mathrm{C}\)に分けました。

次に、\(\mathrm{A}\)に分けた折り紙を\(\mathrm{B}\)と\(\mathrm{C}\)に\(3:1\)の比で分けると、\(\mathrm{B}\)と\(\mathrm{C}\)の折り紙は同じ枚数になりました。

始めに分けた\(\mathrm{A}\)と\(\mathrm{C}\)の折り紙は何枚ですか。

連立方程式の解き方・比で分ける\(1\)

比で分ける連立方程式を解くときは\(1\)番目に、求めるものを\(x\)、\(y\)とします。

ここでは始めに分けた\(\mathrm{A}\)と\(\mathrm{C}\)の折り紙をそれぞれ\(x\)、\(y\)枚とします。

解き方【ステップ\(1\)】

\(1\)、求めるものを\(x\)、\(y\)とする

・始めに分けた\(\mathrm{A}\)の折り紙を\(x\)枚とする

・始めに分けた\(\mathrm{C}\)の折り紙を\(y\)枚とする

連立方程式の解き方・比で分ける\(2\)

\(2\)番目に、分けた数から方程式を作ります。

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、分けた数から方程式を作る

・ \(\mathrm{A}\)と\(\mathrm{B}\)の折り紙は\(x\)枚

・ \(\mathrm{C}\)の折り紙は\(y\)枚

・折り紙は全部で\(126\)枚

・ \(2x+y=126\)

連立方程式の解き方・比で分ける\(3\)\(-1\)

\(3\)番目に、比で分けた数を求めます。比で分けた数の求め方は次のとおり。

比で分けた数の求め方

・ \(p\hskip2pt\)個を\(a:b\)で分けると
\(\frac{a}{a+b}\times p\hskip2pt\)個と\(\frac{b}{a+b}\times p\hskip2pt\)個になる

例えば、\(12\)枚の折り紙を\(1:3\)の比で分ける数の求め方は次のとおり。

・ \(12\)枚を\(1:3\)で分けると
\(\frac{1}{1+3}\times12=\frac{1}{4}\times12=3\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)
\(\frac{3}{1+3}\times12=\frac{3}{4}\times12=9\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)
より、\(3\)枚と\(9\)枚になる

連立方程式の解き方・比で分ける\(3\)\(-2\)

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、比で分けた数を求める

・ \(x\)枚を\(3:1\)で分けると
\(\frac{3}{1+3}\times x=\frac{3}{4}x\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)
\(\frac{1}{1+3}\times x=\frac{1}{4}x\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)
より、\(\frac{3}{4}x\)枚と\(\frac{1}{4}x\)枚になる

連立方程式の解き方・比で分ける\(4\)

\(4\)番目に、比で分けた数を使って方程式を作ります。

解き方【ステップ\(4\)】

\(4\)、比で分けた数を使って方程式を作る

・ \(\mathrm{A}\)の折り紙を\(\mathrm{B}\)と\(\mathrm{C}\)に\(3:1\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)の比で分ける

・ \(\mathrm{B}\)は\(\frac{3}{4}x\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)枚増える

・ \(\mathrm{C}\)は\(\frac{1}{4}x\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)枚増える

・ \(\mathrm{B}\)の折り紙は\(x+\frac{3}{4}x\vphantom{\Rule{0ex}{0ex}{1.2ex}}\)枚

・ \(\mathrm{C}\)の折り紙は\(y+\frac{1}{4}x\)枚

・ \(\mathrm{B}\)と\(\mathrm{C}\)の折り紙は同じ枚数だから
\(x+\frac{3}{4}x=y+\frac{1}{4}x\)

連立方程式の解き方・比で分ける\(5\)

\(5\)番目に、連立方程式を解きます。

解き方【ステップ\(5\)】

\(5\)、連立方程式を解く

・ \(\left\{\begin{array}{l}2x+y=126\cdots①\\x+\frac{3}{4}x=y+\frac{1}{4}x\cdots②\end{array}\right.\)

・ \(②\)を整理する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{4x+3x}&=4y+x\cr&&\mathord{6x}&=4y\cr&&\mathord{x}&=\textstyle{\frac{2}{3}y}\cdots③\cr\end{alignat}\)

・ \(③\)より\(x=\frac{2}{3}y\)を\(①\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{\frac{4}{3}y+y}}&=126\cr&&\mathord{4y+3y}&=378\cr&&\mathord{y}&=54\cr\end{alignat}\)

・ \(y=54\)を\(③\)に代入する

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{x}&=\textstyle{\frac{2}{3}\times54}\cr&&\mathord{}&=36\cr\end{alignat}\)

答え
\(\mathrm{A}\)の折り紙は\(36\)枚
\(\mathrm{B}\)の折り紙は\(54\)枚

連立方程式の解き方・比で分ける【まとめ】

ポイントをカンタンにまとめます。比で分ける連立方程式の解き方です。

連立方程式の解き方・比で分ける【まとめ】

・求めるものを\(x\)、\(y\)とする

・分けた数から方程式を作る

・比で分けた数から方程式を作る

・連立方程式を解く

比で分けた数の求め方

・ \(p\hskip2pt\)個を\(a:b\)で分けると
\(\frac{a}{a+b}\times p\hskip2pt\)個と\(\frac{b}{a+b}\times p\hskip2pt\)個になる