二次方程式を利用した解き方・動点の応用

二次方程式を利用した解き方 $5$ ステップ

「動点の応用問題を二次方程式を利用して解く方法は？」

動点の応用問題を二次方程式を利用して解く方法は次のとおり。

二次方程式を利用した解き方 $5$ ステップ

1

、求める時間を文字で置き換える

2

、余分な面積を求める

3

、全体の面積から余分な面積を引く

4

、面積の二次方程式を作る

5

、二次方程式の解から答えを求める

二次方程式を利用した解き方を見ていきましょう。

動点の応用問題

問題
下の図のような正方形 $ABCD$ で、点 $P$ は $A$ を出発して $AB$ 上を $B$ まで秒速 $1$ $cm$ で動きます。

また、点 $Q$ は点 $P$ と同時に $B$ を出発して、 $BC$ 上を $C$ まで秒速 $1$ $cm$ で動きます。

点 $P$ が $B$ に着くまでに、 $△ DPQ$ の面積が $42$ ${cm}^{2}$ になるのは何秒後ですか。

二次方程式を利用した解き方・動点の応用

二次方程式を利用した解き方 $1$

$1$ 番目に求める時間を $x$ とします。

二次方程式を利用した解き方 $1$

1

、求める時間を文字で置き換える

・

△ DPQ

の面積が

42

{cm}^{2}

になる時間を

x

秒後とする

二次方程式を利用した解き方 $2$ $- 1$

$2$ 番目に、余分な面積を求めます。 $△ DPQ$ の底辺と高さを求めるのは難しいので、正方形から余分な面積を引いて求めます。

$△ DPQ$ の面積の求め方

・正方形の面積

-

余分な面積

・

二次方程式を利用した解き方 $2$ $- 2$

二次方程式を利用した解き方 $2$

2

、余分な面積を求める

・

△ APD

の面積を求める

・

・底辺は

x

・高さは

10

・

△ APD

の面積は

x \times 10 \div 2 = 5 x

二次方程式を利用した解き方 $2$ $- 3$

二次方程式を利用した解き方 $2$

2

、余分な面積を求める

・

△ PBQ

の面積を求める

・

・底辺は

10 - x

・高さは

x

・

△ PBQ

の面積は

(10 - x) \times x \div 2 = \frac{x (10 - x)}{2}

二次方程式を利用した解き方 $2$ $- 4$

二次方程式を利用した解き方 $2$

2

、余分な面積を求める

・

△ QCD

の面積を求める

・

・底辺は

10

・高さは

(10 - x)

・

△ QCD

の面積は

10 \times (10 - x) \div 2 = 5 (10 - x)

二次方程式を利用した解き方 $3$

$3$ 番目に、全体の面積から余分な面積を引きます。

二次方程式を利用した解き方 $3$

3

、全体の面積から余分な面積を引く

・余分な面積の合計を求める

・

5 x + \frac{x (10 - x)}{2} + 5 (10 - x)

= 5 x - \frac{x^{2}}{2} + 5 x + 50 - 5 x

= - \frac{x^{2}}{2} + 5 x + 50

・全体の面積から余分な面積を引く

・

100 - (- \frac{x^{2}}{2} + 5 x + 50)

二次方程式を利用した解き方 $4$

$4$ 番目に、面積の二次方程式を作ります。

4

、面積の二次方程式を作る

・

△ DPQ

の面積は

42

・

100 - (- \frac{x^{2}}{2} + 5 x + 50) = 42

二次方程式を利用した解き方 $5$

$5$ 番目に、二次方程式の解から答えを求めます。

5

、二次方程式の解から答えを求める

\begin{aligned} ・ & 100 - (- \frac{x^{2}}{2} + 5 x + 50) & = 42 \\ 100 + \frac{x^{2}}{2} - 5 x - 50 & = 42 \\ \frac{x^{2}}{2} - 5 x + 8 & = 0 \\ x^{2} - 10 x + 16 & = 0 \\ (x - 2) (x - 8) & = 0 \end{aligned}

・

x = 2

、

8

・

2

秒後と

8

秒後は問題に適する

応用問題の答え

答え
$2$ 秒後と $8$ 秒後

二次方程式を利用した解き方【まとめ】

カンタンに二次方程式を利用して解く方法をまとめます。

二次方程式を利用した解き方【まとめ】

・求める時間を文字で置き換える

・全体から余分な面積を引いて
二次方程式を作る

・二次方程式の解から答えを求める