二次方程式を利用した解き方・動点の応用

二次方程式を利用した解き方 \(5\)ステップ

「動点の応用問題を二次方程式を利用して解く方法は？」

動点の応用問題を二次方程式を利用して解く方法は次のとおり。

二次方程式を利用した解き方 \(5\)ステップ

\(1\)、求める時間を文字で置き換える

\(2\)、余分な面積を求める

\(3\)、全体の面積から余分な面積を引く

\(4\)、面積の二次方程式を作る

\(5\)、二次方程式の解から答えを求める

二次方程式を利用した解き方を見ていきましょう。

動点の応用問題

問題
下の図のような正方形\(\mathrm{ABCD}\)で、点\(\mathrm{P}\)は\(\mathrm{A}\)を出発して\(\mathrm{AB}\)上を\(\mathrm{B}\)まで秒速\(1\)\(\mathrm{cm}\)で動きます。

また、点\(\mathrm{Q}\)は点\(\mathrm{P}\)と同時に\(\mathrm{B}\)を出発して、\(\mathrm{BC}\)上を\(\mathrm{C}\)まで秒速\(1\)\(\mathrm{cm}\)で動きます。

点\(\mathrm{P}\)が\(\mathrm{B}\)に着くまでに、\(\triangle \mathrm{DPQ}\)の面積が\(42\)\(\mathrm{cm^2}\)になるのは何秒後ですか。

二次方程式を利用した解き方・動点の応用

二次方程式を利用した解き方\(1\)

\(1\)番目に求める時間を\(x\)とします。

二次方程式を利用した解き方\(1\)

\(1\)、求める時間を文字で置き換える

・ \(\triangle \mathrm{DPQ}\)の面積が\(42\)\(\mathrm{cm^2}\)になる時間を
\(x\)秒後とする

二次方程式を利用した解き方\(2\)\(-1\)

\(2\)番目に、余分な面積を求めます。\(\triangle \mathrm{DPQ}\)の底辺と高さを求めるのは難しいので、正方形から余分な面積を引いて求めます。

\(\triangle \mathrm{DPQ}\)の面積の求め方

・正方形の面積\(\hskip2pt-\hskip2pt\)余分な面積

・

二次方程式を利用した解き方\(2\)\(-2\)

二次方程式を利用した解き方\(2\)

\(2\)、余分な面積を求める

・ \(\triangle \mathrm{APD}\)の面積を求める

・

・底辺は\(x\)

・高さは\(10\)

・ \(\triangle \mathrm{APD}\)の面積は
\(x\times10\div2=5x\)

二次方程式を利用した解き方\(2\)\(-3\)

二次方程式を利用した解き方\(2\)

\(2\)、余分な面積を求める

・ \(\triangle \mathrm{PBQ}\)の面積を求める

・

・底辺は\(10-x\)

・高さは\(x\)

・ \(\triangle \mathrm{PBQ}\)の面積は
\((10-x)\times x\div2=\frac{x(10-x)}{2}\)

二次方程式を利用した解き方\(2\)\(-4\)

二次方程式を利用した解き方\(2\)

\(2\)、余分な面積を求める

・ \(\triangle \mathrm{QCD}\)の面積を求める

・

・底辺は\(10\)

・高さは\((10-x)\)

・ \(\triangle \mathrm{QCD}\)の面積は
\(10\times(10-x)\div2=5(10-x)\)

二次方程式を利用した解き方\(3\)

\(3\)番目に、全体の面積から余分な面積を引きます。

二次方程式を利用した解き方\(3\)

\(3\)、全体の面積から余分な面積を引く

・余分な面積の合計を求める

・ \(\phantom{={}}5x+\frac{x(10-x)}{2}+5(10-x)\)
\(=5x-\frac{x^2}{2}+5x+50-5x\)
\(=-\frac{x^2}{2}+5x+50\)

・全体の面積から余分な面積を引く

・ \(100-\left(-\frac{x^2}{2}+5x+50\right)\)

二次方程式を利用した解き方\(4\)

\(4\)番目に、面積の二次方程式を作ります。

\(4\)、面積の二次方程式を作る

・ \(\triangle \mathrm{DPQ}\)の面積は\(42\)

・ \(100-\left(-\frac{x^2}{2}+5x+50\right)=42\)

二次方程式を利用した解き方\(5\)

\(5\)番目に、二次方程式の解から答えを求めます。

\(5\)、二次方程式の解から答えを求める

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{\textstyle{100-\left(-\frac{x^2}{2}+5x+50\right)}}&=42\cr&&\mathord{\textstyle{100+\frac{x^2}{2}-5x-50}}&=42\cr&&\mathord{\textstyle{\frac{x^2}{2}-5x+8}}&=0\cr&&\mathord{x^2-10x+16}&=0\cr&&\mathord{(x-2)(x-8)}&=0\cr\end{alignat}\)

・ \(x=2\)、\(8\)

・ \(2\)秒後と\(8\)秒後は問題に適する

応用問題の答え

答え
\(2\)秒後と\(8\)秒後

二次方程式を利用した解き方【まとめ】

カンタンに二次方程式を利用して解く方法をまとめます。

二次方程式を利用した解き方【まとめ】

・求める時間を文字で置き換える

・全体から余分な面積を引いて
二次方程式を作る

・二次方程式の解から答えを求める