たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ

「たすき掛けのやり方は？」
「因数分解のやり方が知りたい」

たすき掛けで因数分解するやり方は次のとおり。

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ

\(1\)、掛けて\(x^2\)の係数になる\(2\)数を\(a\)、\(b\)とする

\(2\)、掛けて定数項になる\(2\)数を\(c\)、\(d\)とする

\(3\)、\(ad+bc\)が\(x\)の係数になる組み合わせを求める

\(4\)、求めた\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)を\((ax+c)(bx+d)\)に代入する

\(1\)ステップずつ、解き方を見ていきましょう。

たすき掛けで因数分解する問題

たすき掛けで因数分解する問題です。

問題\(1\)　次の式を因数分解しましょう。
\(3x^2+5x-2\)

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ\(1\)\(-1\)

たすき掛けで因数分解するときは、\(1\)番目に掛けて\(x^2\)の係数になる\(2\)数を\(a\)、\(b\)とします。

解き方【ステップ\(1\)】

\(1\)、掛けて\(x^2\)の係数になる\(2\)数を\(a\)、\(b\)とする

・ \(3x^2+5x-2\)の場合は
掛けて\(3\)になる\(2\)数を\(a\)、\(b\)とする

・ \(1\)と\(3\)は\(\hskip2pta=1,\hskip2ptb=3\cdots①\)

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ\(1\)\(-2\)

\(a\)と\(b\)の値を決めるときは、\(2\)数の順番に注目しません。

例えば

・ \(1\)と\(3\)

・ \(3\)と\(1\)

は同じものと見なします。

なので

・ \(a=1,\hskip2ptb=3\)または\(a=3,\hskip2ptb=1\)

のうち、好きなほうを\(1\)つ選びます。

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ\(2\)\(-1\)

\(2\)番目に、掛けて定数項になる\(2\)数を\(c\)、\(d\)とします。

解き方【ステップ\(2\)】

\(2\)、掛けて定数項になる\(2\)数を\(c\)、\(d\)とする

・ \(3x^2+5x-2\)の場合は
掛けて\(-2\)になる\(2\)数を\(c\)、\(d\)とする

・ \(1\)と\(-2\)は\(\hskip2ptc=1,\hskip2ptd=-2\cdots②\)

・ \(-2\)と\(1\)は\(\hskip2ptc=-2,\hskip1ptd=1\cdots③\)

・ \(2\)と\(-1\)は\(\hskip2ptc=2,\hskip1ptd=-1\cdots④\)

・ \(-1\)と\(2\)は\(\hskip2ptc=-1,\hskip2ptd=2\cdots⑤\)

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ\(2\)\(-2\)

\(c\)と\(d\)の値を決めるときは、\(2\)数の順番に注目します。

例えば

・ \(1\)と\(-2\)

・ \(-2\)と\(1\)

を区別します。

なので

・ \(c=1,\hskip2ptd=-2\)

・ \(c=-2,\hskip1ptd=1\)

を区別します。

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ\(3\)\(-1\)

\(3\)番目に、\(ad+bc\)が\(x\)の係数になる組み合わせを求めます。

組み合わせるときは

・ \(x^2\)の係数になる\(2\)数

・掛けて定数項になる\(2\)数

から\(1\)つずつ選びます。

ここでは、\(4\)通りの組み合わせがあります。

・ ①と②

・ ①と③

・ ①と④

・ ①と⑤

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ\(3\)\(-2\)

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、\(ad+bc\)が\(x\)の係数になる組み合わせを求める

・ \(3x^2+5x-2\)の場合
\(ad+bc\)が\(5\)になる組み合わせを求める

・ \(①\)と\(②\)を組み合わせて\(ad+bc\)を求める

・ \(a=1,\hskip2ptb=3,\hskip2ptc=1,\hskip2ptd=-2\)より

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{ad+bc}&=1\times(-2)+3\times1\cr&&\mathord{}&=-2+3\cr&&\mathord{}&=1\cr\end{alignat}\)

・因数分解できない

・ \(①\)と\(③\)を組み合わせて\(ad+bc\)を求める

・ \(a=1,\hskip2ptb=3,\hskip2ptc=-2,\hskip2ptd=1\)より

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{ad+bc}&=1\times1+3\times(-2)\cr&&\mathord{}&=1-6\cr&&\mathord{}&=-5\cr\end{alignat}\)

・因数分解できない

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ\(3\)\(-3\)

解き方【ステップ\(3\)】

\(3\)、\(ad+bc\)が\(x\)の係数になる組み合わせを求める

・ \(①\)と\(④\)を組み合わせて\(ad+bc\)を求める

・ \(a=1,\hskip2ptb=3,\hskip2ptc=2,\hskip2ptd=-1\)より

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{ad+bc}&=1\times(-1)+3\times2\cr&&\mathord{}&=-1+6\cr&&\mathord{}&=5\cr\end{alignat}\)

・因数分解できる

・ \(①\)と\(⑤\)を組み合わせて\(ad+bc\)を求める

・ \(a=1,\hskip2ptb=3,\hskip2ptc=-1,\hskip2ptd=2\)より

\(\begin{alignat}{2}\mathrm{・}\hskip5pt&&\mathord{ad+bc}&=1\times2+3\times(-1)\cr&&\mathord{}&=2-3\cr&&\mathord{}&=-1\cr\end{alignat}\)

・因数分解できない

たすき掛け【因数分解】 \(4\)ステップ\(4\)

\(4\)番目に、求めた\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)を\((ax+c)(bx+d)\)に代入します。

解き方【ステップ\(4\)】

\(4\)、求めた\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)を\((ax+c)(bx+d)\)に代入する

・ \(a=1,\hskip2ptb=3,\hskip2ptc=2,\hskip2ptd=-1\)を\((ax+c)(bx+d)\)に代入する

・ \((x+2)(3x-1)\)

答え
\((x+2)(3x-1)\)

たすき掛け【因数分解】まとめ

ポイントをまとめます。たすき掛けで因数分解する方法です。

たすき掛け【因数分解】まとめ

\(1\)、掛けて\(x^2\)の係数になる\(2\)数を\(a\)、\(b\)とする

\(2\)、掛けて定数項になる\(2\)数を\(c\)、\(d\)とする

\(3\)、\(ad+bc\)が\(x\)の係数になる組み合わせを求める

\(4\)、求めた\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)を\((ax+c)(bx+d)\)に代入する

たすき掛けのポイント

・ \(a\)と\(b\)の値を決めるときは、\(2\)数の順番に注目しない

・ \(c\)と\(d\)の値を決めるときは、\(2\)数の順番に注目する