一次関数の式の求め方・2点を通る直線の式

●直線の式の求め方
●一次関数の式の求め方【基本】
● $2$ 点を通る直線の式の求め方
●連立方程式を使った解き方
●2点を通る直線の式 $1$
●2点を通る直線の式 $2$
●2点を通る直線の式 $3$
●2点を通る直線の式 $4$
●2点を通る直線の式 $5$
●2点を通る直線の式【まとめ】
●連立方程式を使った解き方のコツ
●一次関数解き方

直線の式の求め方

一次関数のグラフは直線になります。ということは
●直線の式を求める→一次関数の式を求める
となりますね。それなら一次関数の式を求めよう、という話になります。

一次関数の式の求め方【基本】

一次関数の式は傾きと切片が分かると求められます。例えば
●傾きが $2$ 、切片が $- 1$ の一次関数の式
→ $y = 2 x - 1$
●傾きが $- 2$ 、切片が $- 5$ の一次関数の式
→ $y = - 2 x - 5$
となります。なので式を求めるときは傾きと切片を調べます。

$2$ 点を通る直線の式の求め方

解き方は $2$ つあります。
$1$ 、連立方程式で解く方法
$2$ 、傾き→切片の順で求める方法
ここでは $1$ の方法を見ていきましょう。

連立方程式の解き方は
●連立方程式解き方
へどうぞ。

連立方程式を使った解き方

次の順序で解けます。
$1$ 、座標を $y = a x + b$ に代入して連立方程式を作る。
$2$ 、連立方程式を解いて $a$ 、 $b$ の値を求める。
$3$ 、求めた $a$ 、 $b$ の値を $y = a x + b$ に代入する。

2点を通る直線の式 $1$

さっそく問題です。
● $2$ 点 $(5, 4), (4, 2)$ を通る直線の式を求めましょう。
この問題を意訳すると次のようになります。
●一次関数の式 $y = a x + b$ の $x$ に $5$ を代入すると $y$ は $4$ になることが分かっています。また、 $x$ に $4$ を代入すると $y$ は $2$ になることも分かっています。このとき、 $a$ と $b$ の値はいくつでしょう？
連立方程式の匂いがぷんぷんしますね。もっとも、連立方程式の匂いをかいだことはありませんが。

2点を通る直線の式 $2$

連立方程式の匂いがぷんぷんするので、連立方程式を作ってみましょう。
● $x = 5$ のとき $y = 4$
→ $4 = 5 a + b$
● $x = 4$ のとき $y = 2$
→ $2 = 4 a + b$
となるので
${\begin{cases} 4 = 5 a + b \dots ① \\ 2 = 4 a + b \dots ② \end{cases}$
となりますね。

2点を通る直線の式 $3$

$b$ の係数が $1$ でそろっているので、加減法がすぐ使えます。
①-②より
$\begin{aligned} 2 & = a \\ a & = 2 \end{aligned}$ $a = 2$ と分かりました。

2点を通る直線の式 $4$

$a = 2$ を②に代入すると
$\begin{aligned} 2 & = 4 \times 2 + b \\ 2 & = 8 + b \\ b & = - 6 \end{aligned}$ $b = - 6$ と分かりました。

2点を通る直線の式 $5$

求めた $a$ と $b$ を $y = a x + b$ 代入すると
● $y = 2 x - 6$
となって、一次関数の式が求められましたね。

2点を通る直線の式【まとめ】

$2$ 点を通る直線の式は連立方程式を使うと求めることができます。全体の流れを確認しておきましょう。
$1$ 、 $2$ 点から連立方程式を作って解く。
$2$ 、求めた $a$ 、 $b$ の値を $y = a x + b$ に代入する。
計算するだけで解けるので、公式を使った解き方に近いですね。

連立方程式を使った解き方のコツ

連立方程式を作ると必ず
● $b$ の係数が $1$ でそろう
という特徴があります。なので加減法を使うと、すぐに $b$ を消去できます。