二次方程式・解の公式の証明の仕方

二次方程式・解の公式の証明の仕方 $5$ ステップ

「二次方程式の解の公式の証明の仕方は？」

次の順番で計算すると、解の公式を証明できます。

二次方程式・解の公式の証明の仕方 $5$ ステップ

1

、

c

を移項して

a

で割る

2

、

x

の係数の半分の

2

乗を足す

3

、因数分解する

4

、平方根を求める

5

、式を整理する

1

ステップずつ、解の公式を証明していきましょう。

まずは二次方程式の問題です。

問題　次の二次方程式を解きましょう。
$a x^{2} + b x + c = 0$

この問題から解の公式を証明します。

解の公式を証明するときは、 $1$ 番目に $c$ を移項して $a$ で割ります。

解の公式の証明の仕方 $1$

1

、

c

を移項して

a

で割る

\begin{aligned} ・ & a x^{2} + b x + c & = 0 \\ a x^{2} + b x & = - c \\ x^{2} + \frac{b}{a} x & = - \frac{c}{a} \end{aligned}

$2$ 番目に、 $x$ の係数の半分の $2$ 乗を足します。足したあと、右辺の式を整理します。左辺の式は、このあと因数分解するので整理しなくてOK。

解の公式の証明の仕方 $2$

2

、

x

の係数の半分の

2

乗を足す

\begin{aligned} ・ & x^{2} + \frac{b}{a} x & = - \frac{c}{a} \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} & = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} & = - \frac{4 a c}{4 a^{2}} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \end{aligned}

$3$ 番目に、因数分解します。因数分解するときは、ステップ $2$ で足した数を使います。

解の公式の証明の仕方 $3$

3

、因数分解する

\begin{aligned} ・ & x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \end{aligned}

$4$ 番目に、平方根を求めます。

解の公式の証明の仕方 $4$

4

、平方根を求める

\begin{aligned} ・ & {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}

$5$ 番目に、式を整理します。

解の公式の証明の仕方 $5$

5

、式を整理する

\begin{aligned} ・ & x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x & = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}

答え

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

カンタンに解の公式を証明する方法をまとめます。

二次方程式・解の公式の証明の仕方【まとめ】

・

c

を移項して

a

で割る

・因数分解する

・平方根を求めて式を整理する